WikiDer > AKLT модель

AKLT model

В AKLT модель является расширением одномерного квант Модель спина Гейзенберга. Предложение и точное решение этой модели Аффлек, Либ, Кеннеди и Тасаки[1] предоставил решающее понимание физики цепочки Гейзенберга со спином 1.[2][3][4][5] Он также послужил полезным примером таких понятий, как твердый порядок валентных связей, топологический порядок с защитой от симметрии[6][7][8][9] и волновые функции состояния произведения матрицы.

Фон

Основным мотивом для модели AKLT было Цепь Маджумдар – Гош. Поскольку два из каждого набора из трех соседних спинов в основном состоянии Маджумдара-Гхоша спарены в синглетную или валентную связь, эти три спина вместе никогда не могут быть обнаружены в состоянии спина 3/2. Фактически, гамильтониан Маджумдара – Гоша есть не что иное, как сумма всех проекторов трех соседних спинов на состояние 3/2.

Основная идея статьи AKLT заключалась в том, что эту конструкцию можно обобщить для получения точно решаемых моделей для размеров спина, отличных от 1/2. Так же, как один конец валентной связи имеет спин 1/2, концы двух валентных связей могут быть объединены в спин 1, три - в спин 3/2 и т. Д.

Определение

Affleck et al. были заинтересованы в построении одномерного состояния с валентной связью между каждой парой узлов. Поскольку это приводит к двум спинам 1/2 для каждого узла, результатом должна быть волновая функция системы со спином 1.

Для каждой смежной пары спинов 1 два из четырех составляющих спинов 1/2 застревают в состоянии полного нуля спина. Следовательно, каждой паре спинов 1 запрещено находиться в состоянии комбинированного спина 2. Записав это условие в виде суммы проекторов, AKLT пришла к следующему гамильтониану

где являются операторами спина 1.

Этот гамильтониан аналогичен спину 1, одномерному квант Модель спина Гейзенберга но имеет дополнительный член "биквадратичного" спинового взаимодействия.

Основное состояние

По построению, основное состояние гамильтониана AKLT - это твердое тело валентной связи с одной валентной связью, соединяющей каждую соседнюю пару узлов. Графически это можно представить как

AKLT GroundState.png

Здесь сплошные точки обозначают спин 1/2, которые переведены в синглетные состояния. Линии, соединяющие спин 1/2, представляют собой валентные связи, указывающие на структуру синглетов. Овалы - это операторы проекции, которые «связывают» вместе два спина 1/2 в один спин 1, проецируя спин 0 или синглетное подпространство и сохраняя только спин 1 или триплетное подпространство. Символы «+», «0» и «-» обозначают стандартные базисные состояния спина 1 (собственные состояния оператор).[10]

Спин 1/2 краевых состояний

Для случая кольцевых спинов (периодические граничные условия) конструкция AKLT дает единственное основное состояние. Но в случае открытой цепочки первый и последний спин 1 имеют только одного соседа, в результате чего один из составляющих их спинов 1/2 остается непарным. В результате концы цепочки ведут себя как моменты свободного спина 1/2, даже если система состоит только из спинов 1.

Краевые состояния со спином 1/2 цепи AKLT можно наблюдать несколькими различными способами. Для коротких цепочек краевые состояния смешиваются в синглет или триплет, давая либо уникальное основное состояние, либо трехкратный мультиплет основных состояний. Для более длинных цепочек краевые состояния распадаются экспоненциально быстро в зависимости от длины цепи, что приводит к четырехкратно вырожденному многообразию основного состояния.[11] Используя численный метод, такой как DMRG Чтобы измерить локальную намагниченность вдоль цепочки, также можно непосредственно увидеть краевые состояния и показать, что их можно удалить, поместив фактические 1/2 спина на концах.[12] Оказалось даже возможным обнаружение краевых состояний со спином 1/2 при измерениях квазиодномерного магнитного соединения, содержащего небольшое количество примесей, роль которых заключается в разбиении цепочек на конечные сегменты.[13]

Матричное представление состояния продукта

Простота основного состояния AKLT позволяет компактно представить его в виде состояние матричного продуктаЭто волновая функция вида

Здесь As представляют собой набор из трех матриц, помеченных и след происходит от предположения периодических граничных условий.

Волновая функция основного состояния AKLT соответствует выбору:[10]

куда это Матрица Паули.

Обобщения и расширения

Модель AKLT была решена на решетках более высокой размерности,[1][14] даже в квазикристаллы .[нужна цитата] Модель построена также для высших алгебр Ли, включая SU (п),[15][16] ТАК(п),[17] Sp (п) [18] и распространен на квантовые группы SUq (п).[19]

Рекомендации

  1. ^ а б Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Lieb, Elliott H .; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентных связей в антиферромагнетиках». Письма с физическими проверками. 59 (7): 799–802. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..799А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.799. PMID 10035874.
  2. ^ Холдейн, Ф. Д. М. (1983). "Нелинейная теория поля гейзенберговских антиферромагнетиков с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного легкоосевого состояния Нееля". Phys. Rev. Lett. 50 (15): 1153. Bibcode:1983ПхРвЛ..50.1153Х. Дои:10.1103 / Physrevlett.50.1153.
  3. ^ Холдейн, Ф. Д. М. (1983). «Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: отождествление с нелинейной сигма-моделью O (3)». Phys. Lett. А. 93 (9): 464. Bibcode:1983ФЛА ... 93..464Н. Дои:10.1016 / 0375-9601 (83) 90631-х.
  4. ^ Аффлек, I .; Холдейн, Ф. Д. М. (1987). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Phys. Ред. B. 36 (10): 5291. Bibcode:1987ПхРвБ..36.5291А. Дои:10.1103 / Physrevb.36.5291. PMID 9942166.
  5. ^ Аффлек, И. (1989). «Квантовые спиновые цепочки и разрыв Холдейна». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 1 (19): 3047. Bibcode:1989JPCM .... 1.3047A. Дои:10.1088/0953-8984/1/19/001.
  6. ^ Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2009). "Подход перенормировки тензорной запутанности-фильтрации и топологический порядок, защищенный симметрией". Phys. Ред. B. 80 (15): 155131. arXiv:0903.1069. Bibcode:2009PhRvB..80o5131G. Дои:10.1103 / Physrevb.80.155131. S2CID 15114579.
  7. ^ Pollmann, F .; Berg, E .; Тернер, Ари М .; Осикава, Масаки (2012). «Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах» (PDF). Phys. Ред. B. 85 (7): 075125. arXiv:0909.4059. Bibcode:2012ПхРвБ..85г5125П. Дои:10.1103 / PhysRevB.85.075125. S2CID 53135907.
  8. ^ Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «Классификация симметричных фаз с промежутками в одномерных спиновых системах». Phys. Ред. B. 83 (3): 035107. arXiv:1008.3745. Bibcode:2011PhRvB..83c5107C. Дои:10.1103 / Physrevb.83.035107. S2CID 9139955.
  9. ^ Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «2D-симметричные топологические порядки и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения». Phys. Ред. B. 84 (23): 235141. arXiv:1106.4752. Bibcode:2011PhRvB..84w5141C. Дои:10.1103 / Physrevb.84.235141. S2CID 55330505.
  10. ^ а б Шольвёк, Ульрих (2011). «Ренормализационная группа матрицы плотности в возрасте состояний матричного произведения». Анналы физики. 326 (1): 96–192. arXiv:1008.3477. Bibcode:2011AnPhy.326 ... 96S. Дои:10.1016 / j.aop.2010.09.012. S2CID 118735367.
  11. ^ Кеннеди, Том (1990). «Точные диагонализации открытых цепочек спина 1». J. Phys. Конденс. Иметь значение. 2 (26): 5737–5745. Bibcode:1990JPCM .... 2,5737K. Дои:10.1088/0953-8984/2/26/010.
  12. ^ Уайт, Стивен; Хусе, Дэвид (1993). "Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнитной цепочки Гейзенберга S = 1". Phys. Ред. B. 48 (6): 3844–3852. Bibcode:1993PhRvB..48.3844W. Дои:10.1103 / PhysRevB.48.3844. PMID 10008834.
  13. ^ Hagiwara, M .; Katsumata, K .; Аффлек, Ян; Гальперин, Б.И.; Ренар, Дж. П. (1990). «Наблюдение S = 1/2 степеней свободы в S = 1 линейно-цепном антиферромагнетике Гейзенберга». Phys. Rev. Lett. 65 (25): 3181–3184. Bibcode:1990ПхРвЛ..65.3181Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.65.3181. PMID 10042802.
  14. ^ Wei, T.-C .; Аффлек, I .; Раусендорф Р. (2012). «Состояние Аффлека-Кеннеди-Либа-Тасаки на сотовой решетке - универсальный квантовый вычислительный ресурс». Phys. Rev. Lett. 106 (7): 070501. arXiv:1009.2840. Bibcode:2011PhRvL.106g0501W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.070501. PMID 21405505.
  15. ^ Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан; Шурихт, Дирк (2007). «Точные результаты для спиновых цепочек SU (3): состояния тримеров, твердые тела с валентными связями и их родительские гамильтонианы». Phys. Ред. B. 75 (6): 060401 (R). arXiv:cond-mat / 0701354. Bibcode:2007PhRvB..75f0401G. Дои:10.1103 / PhysRevB.75.060401. S2CID 119373252.
  16. ^ Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан (2007). «Твердые валентные связи для цепочек спина SU (n): точные модели, удержание спинонов и щель Холдейна». Phys. Ред. B. 75 (18): 184441. arXiv:cond-mat / 0702443. Bibcode:2007PhRvB..75r4441G. Дои:10.1103 / PhysRevB.75.184441. S2CID 55917580.
  17. ^ Ту, Хун-Хао; Чжан, Гуан-Мин; Сян, Тао (2008). «Класс точно решаемых SO (n) симметричных спиновых цепочек с основными состояниями матричного произведения». Phys. Ред. B. 78 (9): 094404. arXiv:0806.1839. Bibcode:2008PhRvB..78i4404T. Дои:10.1103 / PhysRevB.78.094404. S2CID 119200687.
  18. ^ Шурихт, Дирк; Рэйчел, Стефан (2008). «Твердые состояния валентных связей с симплектической симметрией». Phys. Ред. B. 78 (1): 014430. arXiv:0805.3918. Bibcode:2008PhRvB..78a4430S. Дои:10.1103 / PhysRevB.78.014430. S2CID 118429445.
  19. ^ Santos, R.A .; Paraan, F.N.C .; Корепин, В.Е .; Клюмпер, А. (2012). «Спектры запутанности q-деформированной модели Аффлека – Кеннеди – Либа – Тасаки и матричных состояний произведения». EPL. 98 (3): 37005. arXiv:1112.0517. Bibcode:2012EL ..... 9837005S. Дои:10.1209/0295-5075/98/37005. ISSN 0295-5075. S2CID 119733552.