WikiDer > Условие синуса Аббе

Abbe sine condition
Углы входа и выхода каждого луча, проходящего через систему формирования изображений (серый прямоугольник), связаны. Когда система формирования изображения подчиняется условию синуса Аббе, отношение синусов этих углов равно (поперечному абсолютному) увеличению системы.

В Условие синуса Аббе это условие, которое должно выполняться линза или другой оптическая система для получения резких изображений как внеосевых, так и осевых объектов. Его сформулировал Эрнст Аббе в контексте микроскопы.[1]

Условие синуса Аббе говорит, что

в синус угла объект-пространство должен быть пропорционален синусу угла изображения

Кроме того, это соотношение равно увеличению системы. Математически это:

где переменные - углы (относительно оптической оси) любых двух лучей при выходе из объекта, и - углы тех же лучей, под которыми они достигают плоскости изображения (скажем, плоскости пленки камеры). Например, ( может представлять собой параксиальный луч (т.е. луч, почти параллельный оптической оси), и может представлять собой крайний луч (т.е. луч с наибольшим углом, допускаемый апертурой системы). Считается, что система оптического изображения, для которой это верно для всех лучей, подчиняется условию синуса Аббе.

Увеличение и условие синуса Аббе

Система оптического изображения (серый прямоугольник), которая подчиняется условию синуса, имеет фиксированное соотношение между синусами углов луча на входе и выходе из системы. . Это соотношение равно увеличению (M).

Используя рамки Фурье-оптика, мы можем легко объяснить значение синусоидального условия Аббе. Скажем, объект в объектной плоскости оптической системы имеет функцию пропускания формы, Т(Иксо,уо). Мы можем выразить эту функцию пропускания через ее преобразование Фурье в качестве

Теперь предположим для простоты, что в системе нет искажение изображения, так что координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта соотношением

куда M это система увеличение. Приведенный выше коэффициент пропускания плоскости объекта теперь можно переписать в слегка измененной форме:

где различные члены были просто умножены и разделены в экспоненте на M, системное увеличение. Теперь уравнения могут быть заменены приведенными выше уравнениями для координат плоскости изображения в терминах координат плоскости объекта, чтобы получить,

Здесь можно предложить другое преобразование координат (я.е., условие синуса Аббе), связывающее плоскость объекта волновое число спектр к спектру волновых чисел плоскости изображения как

чтобы получить окончательное уравнение для поля плоскости изображения в терминах координат плоскости изображения и волновых чисел плоскости изображения как:

Из Фурье-оптика, известно, что волновые числа можно выразить через сферическая система координат в качестве

Если рассматривать спектральную составляющую, для которой , то преобразование координат между волновыми числами плоскости объекта и изображения принимает вид

Это еще один способ записать условие синуса Аббе, которое просто отражает классический принцип неопределенности для пар преобразования Фурье, а именно, что при расширении пространственной протяженности любой функции (на коэффициент увеличения, M), спектральная протяженность сужается во столько же раз, M, таким образом произведение на ширину полосы частот остается постоянным.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Аббе, Эрнст (июнь 1881 г.). «Об оценке апертуры в микроскопе». Журнал Королевского микроскопического общества. 1 (3): 388–423. Дои:10.1111 / j.1365-2818.1881.tb05909.x.