WikiDer > Случайная симметрия

Accidental symmetry

В теории поля

В физика, особенно в перенормировка теория, случайная симметрия является симметрией, которая присутствует в перенормируемой теории только потому, что члены, которые ее нарушают, имеют слишком большую размерность, чтобы появиться в Лагранжиан.^[1]

В стандартной модели лептонное число и барионное число случайные симметрии, а в решетчатых моделях вращательная инвариантность случайно.

В квантовой механике

Связь между симметрией и вырождением (то есть тот факт, что очевидно несвязанные величины оказываются равными) знакома из повседневной жизни. Рассмотрим простой пример, где мы рисуем три точки на плоскости и вычисляем расстояние между каждой из трех точек. Если точки расставить случайным образом, то в целом все эти расстояния будут разными. Однако, если точки расположены так, что поворот на 120 градусов оставляет изображение неизменным, тогда расстояния между ними будут одинаковыми (поскольку эта ситуация, очевидно, описывает равносторонний треугольник). Наблюдаемое вырождение сводится к тому, что система имеет D₃ симметрия.

В квантовой механике расчеты (по крайней мере формально) сводятся к диагонализации эрмитовых матриц, в частности гамильтониана, или, в непрерывном случае, решения линейных дифференциальных уравнений. Опять же, наблюдаемые вырождения в собственном спектре являются следствием дискретных (или непрерывных) симметрий. В последнем случае теорема Нётер также гарантирует сохраняющийся ток. «Случайная» симметрия - это название наблюдаемых вырождений, которые, по-видимому, не являются следствием симметрии.

Термин вводит в заблуждение, поскольку часто наблюдаемое вырождение вовсе не случайно, а является следствием «скрытой» симметрии, которая не сразу очевидна из гамильтониана в данном базисе. Нерелятивистские атомы водорода - хороший пример этого - по построению его гамильтониан инвариантен относительно группы полного вращения в 3 измерениях, SO (3). Менее очевидная особенность состоит в том, что гамильтониан также инвариантен относительно SO (4), расширения SO (3) на 4D, из которых SO (3) является подгруппой (другой способ сказать это, что все возможные вращения в 3D являются также возможно в 4D - мы просто не вращаемся вокруг дополнительной оси). Это приводит к «случайному» вырождению, наблюдаемому в собственном водородном спектре.

В качестве более приятного примера рассмотрим эрмитову матрицу:

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 & -0.5 & - {sqrt {0.5}} & 0.5 -0.5 & - {sqrt {2}} & 0 & 0 - {sqrt {0.5}} & 0 & 0 & 0 0.5 & 0 & 0 & {sqrt {2} } end {bmatrix}}}$

Хотя уже есть некоторые предполагаемые отношения между элементами матрицы, на первый взгляд неясно, что такое симметрия этой матрицы. Однако легко показать, что с помощью унитарного преобразования эта матрица эквивалентна:

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}}$

Что можно проверить напрямую численно (или для пуристов аналитически - см. Полиномы Чебышева для некоторых подсказок) диагонализация подматрицы, образованной удалением первой строки и столбца. Вращение базиса, определяющего эту подматрицу, с использованием полученной унитарной матрицы приводит исходную матрицу к первоначально заявленной форме. Эта матрица имеет P₄ перестановочная симметрия, которую в этом базисе гораздо легче увидеть и которая может составлять «скрытую» симметрию. В этом случае вырождения в собственном спектре отсутствуют. Техническая причина этого заключается в том, что каждое собственное состояние преобразуется относительно разных неприводимое представление из P₄. Если бы кто-то столкнулся со случаем, когда некоторая группа собственных состояний соответствует одному и тому же неприводимому представлению «скрытой» группы симметрии, вырождение наблюдалось бы.

Хотя для этой простой матрицы 4x4 симметрию можно было бы угадать (в конце концов, она всегда была изначально), если бы матрица была больше, ее было бы труднее обнаружить.