WikiDer > Алгебраически замкнутая группа

В математика, в сфере теория групп, а группа ${displaystyle A}$ является алгебраически замкнутый если любой конечный набор уравнений и неравенств, которые "имеют смысл" в ${displaystyle A}$ есть решение в ${displaystyle A}$ без необходимости расширение группы. Это понятие будет уточнено позже в статье в 搂 Формальное определение.

Неформальное обсуждение

Предположим, мы хотели найти элемент ${displaystyle x}$ группы ${displaystyle G}$ удовлетворяющие условиям (уравнениям и неравенствам):

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle x ^ {3} = 1}$

${displaystyle xeq 1}$

Тогда легко увидеть, что это невозможно, потому что первые два уравнения подразумевают ${displaystyle x = 1}$. В этом случае мы говорим, что набор условий непоследовательный с ${displaystyle G}$. (Фактически, этот набор условий несовместим с какой-либо группой.)

${displaystyle G}$
${displaystyle. }$ ${displaystyle {underline {1}}}$ ${displaystyle {underline {a}}}$ ${displaystyle {underline {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle {underline {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$

Теперь предположим ${displaystyle G}$ это группа с таблицей умножения:

Тогда условия:

${displaystyle x ^ {2} = 1}$

${displaystyle xeq 1}$

есть решение в ${displaystyle G}$, а именно ${displaystyle x = a}$.

Однако условия:

${displaystyle x ^ {4} = 1}$

${displaystyle x ^ {2} a ^ {- 1} = 1}$

Нет решения в ${displaystyle G}$, что легко проверить.

${displaystyle H}$

${displaystyle. }$ ${displaystyle {underline {1}}}$ ${displaystyle {underline {a}}}$ ${displaystyle {underline {b}}}$ ${displaystyle {underline {c}}}$ ${displaystyle {underline {1}}}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle {underline {a}}}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle {underline {b}}}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle a}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle {underline {c}}}$ ${displaystyle c}$ ${displaystyle b}$ ${displaystyle 1}$ ${displaystyle a}$

Однако если мы расширим группу ${displaystyle G}$ к группе ${displaystyle H}$ с таблицей умножения:

Тогда условия имеют два решения, а именно ${displaystyle x = b}$ и ${displaystyle x = c}$.

Таким образом, есть три возможности относительно таких условий:

• Они могут не соответствовать ${displaystyle G}$ и не имеют решения ни в каком расширении ${displaystyle G}$.
• У них может быть решение в ${displaystyle G}$.
• У них может не быть решения в ${displaystyle G}$ но все же есть решение в каком-то расширении ${displaystyle H}$ из ${displaystyle G}$.

Резонно спросить, есть ли группы ${displaystyle A}$ так что всякий раз, когда набор таких условий имеет решение, у них есть решение в ${displaystyle A}$ сам? Оказывается, «да», и мы называем такие группы алгебраически замкнутыми группами.

Формальное определение

Сначала нам нужны предварительные идеи.

Если ${displaystyle G}$ это группа и ${displaystyle F}$ это свободная группа на счетно много генераторов, затем конечная система уравнений и неравенств с коэффициентами в ${displaystyle G}$ мы имеем в виду пару подмножеств ${displaystyle E}$ и ${displaystyle I}$ из ${displaystyle Fstar G}$ то бесплатный продукт из ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$.

Это формализует понятие системы уравнений и неравенств, состоящих из переменных ${displaystyle x_ {i}}$ и элементы ${displaystyle g_ {j}}$ из ${displaystyle G}$. Набор ${displaystyle E}$ представляет такие уравнения, как:

${displaystyle x_ {1} ^ {2} g_ {1} ^ {4} x_ {3} = 1}$

${displaystyle x_ {3} ^ {2} g_ {2} x_ {4} g_ {1} = 1}$

${displaystyle dots}$

Набор ${displaystyle I}$ представляет собой неравенства вида

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} x_ {3} экв 1}$

${displaystyle dots}$

Автор решение в ${displaystyle G}$ к этой конечной системе уравнений и неравенств мы имеем в виду гомоморфизм ${displaystyle f: Fightarrow G}$, так что ${displaystyle {ilde {f}} (e) = 1}$ для всех ${displaystyle ein E}$ и ${displaystyle {ilde {f}} (i) уравнение 1}$ для всех ${displaystyle iin I}$, куда ${displaystyle {ilde {f}}}$ единственный гомоморфизм ${displaystyle {ilde {f}}: Fstar Gightarrow G}$ это равно ${displaystyle f}$ на ${displaystyle F}$ и это личность на ${displaystyle G}$.

Это формализует идею замены элементов ${displaystyle G}$ чтобы переменные обрели истинную идентичность и идентичность. В примере подстановки ${displaystyle x_ {1} mapsto g_ {6}, x_ {3} mapsto g_ {7}}$ и ${displaystyle x_ {4} mapsto g_ {8}}$ урожай:

${displaystyle g_ {6} ^ {2} g_ {1} ^ {4} g_ {7} = 1}$

${displaystyle g_ {7} ^ {2} g_ {2} g_ {8} g_ {1} = 1}$

${displaystyle dots}$

${displaystyle g_ {5} ^ {- 1} g_ {7} экв 1}$

${displaystyle dots}$

Мы говорим, что конечный набор уравнений и неравенств в соответствии с ${displaystyle G}$ если мы сможем решить их в «большей» группе ${displaystyle H}$. Более формально:

Уравнения и неравенства согласуются с ${displaystyle G}$ если есть группа${displaystyle H}$ и вложение ${displaystyle h: Gightarrow H}$ такая, что конечная система уравнений и неравенств ${displaystyle {ilde {h}} (E)}$ и ${displaystyle {ilde {h}} (I)}$ имеет решение в ${displaystyle H}$, куда ${displaystyle {ilde {h}}}$ единственный гомоморфизм ${displaystyle {ilde {h}}: Fstar Gightarrow Fstar H}$ это равно ${displaystyle h}$ на ${displaystyle G}$ и это личность на ${displaystyle F}$.

Теперь формально определим группу ${displaystyle A}$ быть алгебраически замкнутый если каждая конечная система уравнений и неравенств, имеющая коэффициенты в ${displaystyle A}$ и соответствует ${displaystyle A}$ имеет решение в ${displaystyle A}$.

Известные результаты

Трудно привести конкретные примеры алгебраически замкнутых групп, о чем свидетельствуют следующие результаты:

• Каждый счетный группа может быть вложена в счетную алгебраически замкнутую группу.
• Каждая алгебраически замкнутая группа является просто.
• Никакая алгебраически замкнутая группа не является конечно порожденный.
• Алгебраически замкнутая группа не может быть рекурсивно представленный.
• Конечно порожденная группа имеет решаемая проблема со словом тогда и только тогда, когда он может быть вложен в любую алгебраически замкнутую группу.

Доказательства этих результатов в целом очень сложны. Однако набросок доказательства того, что счетная группа ${displaystyle C}$ вкладывается в алгебраически замкнутую группу следующим образом.

Сначала вставляем ${displaystyle C}$ в счетной группе ${displaystyle C_ {1}}$ с тем свойством, что каждая конечная система уравнений с коэффициентами в ${displaystyle C}$ это согласуется с ${displaystyle C_ {1}}$ имеет решение в ${displaystyle C_ {1}}$ следующее:

Конечных наборов уравнений и неравенств с коэффициентами в ${displaystyle C}$. Исправить перечисление ${displaystyle S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, точки}$ их. Определить группы ${displaystyle D_ {0}, D_ {1}, D_ {2}, точки}$ индуктивно:

${displaystyle D_ {0} = C}$

${displaystyle D_ {i + 1} = left {{egin {matrix} D_ {i} & {mbox {if}} S_ {i} {mbox {не соответствует}} D_ {i} langle D_ {i} , h_ {1}, h_ {2}, dots, h_ {n} angle & {mbox {if}} S_ {i} {mbox {есть решение в}} Hsupseteq D_ {i} {mbox {with}} x_ {j} mapsto h_ {j} 1leq jleq nend {matrix}} ight.}$

Теперь позвольте:

${displaystyle C_ {1} = чашка _ {i = 0} ^ {infty} D_ {i}}$

Теперь повторите эту конструкцию, чтобы получить последовательность групп ${displaystyle C = C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, точки}$ и разреши:

${displaystyle A = чашка _ {i = 0} ^ {infty} C_ {i}}$

потом ${displaystyle A}$ счетная группа, содержащая ${displaystyle C}$. Он алгебраически замкнут, потому что любой конечный набор уравнений и неравенств, который согласуется с ${displaystyle A}$ должен иметь коэффициенты в некоторых ${displaystyle C_ {i}}$ и поэтому должно быть решение в ${displaystyle C_ {i + 1}}$.

Смотрите также

• Алгебраическое замыкание
  • Алгебраически замкнутое поле

Рекомендации

• А. Макинтайр: Об алгебраически замкнутых группах, ann. математики, 96, 53-97 (1972)
• B.H. Нейман: Замечание об алгебраически замкнутых группах. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
• B.H. Нейман: Проблема изоморфизма для алгебраически замкнутых групп. В: Проблемы со словами, стр. 553 . Амстердам: Северная Голландия 1973
• W.R. Scott: Алгебраически замкнутые группы. Proc. Амер. Математика. Soc. 2, 118-121 (1951)