WikiDer > Aliquot-Reihe

In dem Zahlentheorie ist der Aliquot-Reihe von a natürliche Zahl ein WarteschlangeZahlen die mit dieser Zahl beginnt und von der jede Zahl de Aliquotsumme ist die Nummer, die in dieser Zeile davor steht.^[1]

Beispiele

• Ist ${Anzeigestil n=6}$, dann, mit ${Anzeigestil s}$ wenn Funktion was ist die aliquote Summe von ${displaystyle n}$ gibt:^[2]

${Anzeigestil s(6)=1 2 3=6}$, usw.

Die aliquote Folge der Zahl ${Anzeigestil 6}$ ist dann: ${Anzeigestil 6,6,6,...}$.

• Ist ${Anzeigestil n=18}$, dann ist:

${Anzeigestil s(18)=1 2 3 6 9=21,s(21)=1 3 7=11,s(11)=1,s(1)=0}$

Die aliquote Reihe von ${Anzeigestil 18}$ ist dann: ${Anzeigestil 18,21,11,1,0}$.

Die aliquote Folge einer beliebigen natürlichen Zahl ${displaystyle n}$ kann, basierend auf der obigen Definition, geschrieben werden als:

${Anzeigestil n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}$

Oder, rekursiv definiert mit ${displaystyle a_{k}}$ als allgemeiner Begriff der Folge:

${displaystyle left{{ egin{array}{*{35}{l}}(i)&{{a}_{0}}=n/(ii)&{{a}_{k}}=s( {{a}_{k-1}}){ ext{,}} { ext{for}} kgeq 1 { ext{en}} {{a}_{k-1}}>0/(iii)& {{a}_{k}}=0, { ext{if}} {{a}_{k-1}}=0/Ende{array}}ight.}$

Teil ${Anzeigestil (iii)}$ dieser Definition wurde hinzugefügt, sodass die Zeilen mit a ${Anzeigestil 0}$ würde enden, dann weiter mit ${Anzeigestil 0,0,0,...}$.^[3]

Eigenschaften

• Viele Aliquot-Reihen enden mit ${Anzeigestil 0}$, denn der drittletzte Term in einer solchen Zeile ist a Primzahl ist (was per Definition nur ${Anzeigestil 1}$ als echter Teiler). Die ersten fünfunddreißig Zahlen mit dieser Eigenschaft sind:^[4]

${Anzeigestil 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26, 27,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38}$

• Die aliquote Reihe von a perfekte Zahl${displaystyle n}$ (wie die Zahlen ${Anzeigestil 6}$ und ${Anzeigestil 28}$) endet nicht, aber probt:

${Anzeigestil n,n,n,...}$

• Die aliquote Reihe von a freundliche Nummer ist auch repetitiv. Immerhin, wenn die Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ Freunde sein, dann per Definition ${Anzeigestil s(a)=b}$ und ${Anzeigestil s(b)=a}$. Die aliquote Reihe von ${Anzeigestil a}$ ist dann:

${Anzeigestil a,b,a,b,...}$

• Es gibt auch aliquotierte Reihen, die sich wiederholen, ohne dass die Startnummer eine perfekte oder freundliche Nummer ist.

Beispiel. Vor dem ${Anzeigestil n=95}$ ist:

${Anzeigestil s(95)=1 5 19=25, s(25)=1 5=6, s(6)=6}$, usw.

Die aliquote Reihe von ${Anzeigestil 95}$ ist dann: ${Anzeigestil 95,25,6,6,...}$.

Verdacht auf Katalanisch-Dickson

1888 formulierte der belgische Mathematiker ma katalanisch (1814-1894) folgende Vermutung über Aliquotreihen:

Jede aliquote Sequenz endet mit einer Primzahl oder einer perfekten Zahl.

1913 wurde diese Vermutung von Dickson (1874-1954) an:^[5]

Jede aliquotierte Sequenz endet mit einer Primzahl oder einer perfekten Zahl oder geht in eine sich wiederholende Sequenz über.

Es bleibt immer noch eine Vermutung, da einige Zahlen unbekannt sind Wie Sie beenden. Dazu gehören die sog Fünf von Lehmer: 276, 552, 564, 660 und 966.^[6]

Siehe auch

• Aliquot
• Arithmetische Funktion

Externe Links

• (und) E. W. Weißstein:Aliquot-Sequenz. Auf: MathWorld – Eine Web-Ressource von Wolfram
• (und) Beispiele für Aliquote-Sequenzen. Auf: PlanetMath.org
• (und) R. K. Kerl, J. L. Selfridge (1974):Was treibt eine Aliquotsequenz an? Im: Mathematik der Berechnungen, voll. 29, Nr. 129; pp. 101-107.