WikiDer > Почти всюду

Almost everywhere
Простой пример меры присваивается субрегиону прямоугольник доля геометрического площадь он занимает. Затем прямоугольник граница имеет меру 0, а его внутренняя часть имеет меру 1. Почти каждая точка прямоугольника является внутренняя точка, но в интерьере есть непустой дополнять.

В теория меры (филиал математический анализ) выполняется свойство почти всюду если в техническом смысле набор, для которого выполняется свойство, использует почти все возможности. Понятие «почти везде» является сопутствующим понятием концепции измерять ноль, и аналогично понятию почти наверняка в теория вероятности.

В частности, свойство выполняется почти везде, если оно выполняется для всех элементов в наборе, кроме подмножества с нулевой мерой,[1][2][3] или, что то же самое, если набор элементов, для которых выполняется свойство, равен Conull. В случаях, когда мера не полный, достаточно, чтобы множество содержалось в множестве нулевой меры. При обсуждении наборов действительные числа, то Мера Лебега обычно предполагается, если не указано иное.

Период, термин почти всюду сокращено а.е.;[4] в более старой литературе п.п. используется для обозначения эквивалента французский язык фраза preque partout.[5]

Набор с полная мера - дополнение, дополнение которого имеет нулевую меру. В теории вероятностей термины почти наверняка, почти наверняка и почти всегда Ссылаться на События с вероятность 1 не обязательно включает все результаты.[1] Это в точности наборы полной меры в вероятностном пространстве.

Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство выполняется почти везде, говорят, что свойство выполняется для почти все элементы (хотя термин почти все может иметь и другие значения).

Определение

Если это измерить пространство, недвижимость говорят, что почти везде в если существует набор с , и все иметь собственность .[6] Другой распространенный способ выразить то же самое - сказать, что «почти каждая точка удовлетворяет ", или что" почти для каждого , держит ".

это нет требовал, чтобы набор имеет меру 0; это может не принадлежать . По данному выше определению достаточно, чтобы содержаться в некотором наборе который измерим и имеет меру 0.

Характеристики

  • Если свойство выполняется почти всюду и влечет свойство , то свойство держится почти везде. Это следует из монотонность мер.
  • Если конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция держится почти везде. Это следует из счетная субаддитивность мер.
  • Напротив, если несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция не обязательно выполняется почти везде. Например, если мера Лебега на и свойство не быть равным (т.е. верно тогда и только тогда, когда ), то каждый выполняется почти везде, но союз никуда не держит.

Как следствие первых двух свойств, часто можно рассуждать о «почти каждой точке» пространства мер, как если бы это была обычная точка, а не абстракция.[нужна цитата] Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждений из-за третьего пункта выше: универсальная количественная оценка по бесчисленным семействам утверждений действительна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

Примеры

  • Если ж : рр это Интегрируемый по Лебегу функция и почти везде, тогда
    для всех действительных чисел с равенством если и только если почти всюду.
  • Если ж : [а, б] → р это монотонная функция, тогда ж является дифференцируемый почти всюду.
  • Если ж : рр измерима по Лебегу и

    для всех действительных чисел , то существует множество E (в зависимости от ж) такой, что если Икс в E, среднее значение Лебега

    сходится к ж(Икс) в качестве уменьшается до нуля. Набор E называется множеством Лебега ж. Можно доказать, что его дополнение имеет нулевую меру. Другими словами, среднее значение Лебега ж сходится к ж почти всюду.
  • Ограниченный функция ж : [аб] → р является Интегрируемый по Риману если и только если это непрерывный почти всюду.
  • Любопытно, что десятичное разложение почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст Пьесы Шекспира, закодированный в ASCII; аналогично для любой другой конечной последовательности цифр, см. Нормальный номер.

Определение с помощью ультрафильтров

Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти везде, иногда определяется в терминах ультрафильтр. Ультрафильтр на комплекте Икс это максимальная коллекция F подмножеств Икс такой, что:

  1. Если UF и UV тогда VF
  2. Пересечение любых двух множеств в F в F
  3. Пустого набора нет в F

Недвижимость п очков в Икс практически везде, относительно ультрафильтра F, если множество точек, для которых п держит в F.

Например, одна конструкция гиперреальное число Система определяет гиперреалистическое число как класс эквивалентности последовательностей, которые почти всюду равны, как это определено ультрафильтром.

Определение почти всюду в терминах ультрафильтров тесно связан с определением в терминах мер, потому что каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где набор имеет меру 1 тогда и только тогда, когда он включен в ультрафильтр.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - почти». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-19.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Почти всюду". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-11-19.
  3. ^ Халмос, Пол Р. (1974). Теория меры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
  4. ^ "Почти везде | Dictionary.com". www.dictionary.com. Получено 2019-11-19.
  5. ^ Урселл, Х. Д. (1932-01-01). "О сходимости почти всюду рядов Радемахера и сумм Бохнерфейера функции, почти периодической в ​​смысле Степанова". Труды Лондонского математического общества. s2-33 (1): 457–466. Дои:10.1112 / плмс / с2-33.1.457. ISSN 0024-6115.
  6. ^ «Недвижимость, которая хранится почти везде - Mathonline». mathonline.wikidot.com. Получено 2019-11-19.

Библиография

  • Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.