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EIN Rente ist ein fester Betrag, der periodisch während eines bestimmten Zeitraums bezahlt oder erhalten. Wörtlich genommen ist eine Rente a jährlich bezahlbarer Betrag. Es leitet sich vom lateinischen Wort „annus“ (Jahr) ab. Das Wort „Annuität“ wird in den Niederlanden jedoch sehr häufig für eine periodischer Betrag, auch für einen anderen Zeitraum als ein Jahr, oft einen Monat. Der Zeitraum muss daher angegeben werden, auch wenn es sich um einen Zeitraum von einem Jahr handelt. Eine 'monatliche Rente' ist - insbesondere in Flandern - Menschheit erwähnt. Ein fester Betrag, der pro zu zahlen ist Trimester oder Semester ist dann a Trimesterialität oder Semesterität.

Der Begriff Rente wird hauptsächlich bei periodischen Zahlungen gegen eine einmalige Rückzahlung verwendet, aber damit verbunden ist beispielsweise das periodische Ansparen eines festen Betrags und damit der Aufbau eines Kapitals.

Ersteres tritt unter anderem auf in Guthaben die in festen regelmäßigen Beträgen zurückgezahlt werden (Annuitätendarlehen) und für die Zahlungsphase einer Bankrente. Diese Beträge setzen sich zusammen aus einer Teilrückzahlung (an den Kreditgeber/Begünstigten) und einem Teil Interesse. Die Rückzahlungskomponente ist am Anfang gering, steigt aber exponentiell (d.h. in a geometrische Folge) zu. Der Zinsanteil ist zunächst hoch, nimmt aber immer schneller ab. Im Verhältnis dazu, aber vor einer Periode, sinkt die Restschuld immer schneller.

Die Auszahlung erfolgt normalerweise am Ende jeder Periode, dies wird als Zahlung "postnumerando" bezeichnet, andererseits kann man auch zu Beginn jeder Periode bezahlen und dann spricht man von einer Zahlung "prenumerando".

Die Formeln für Kapitalbewegungen mit periodischen Sparbeträgen in festem Umfang sind die gleichen; diese Situation entspricht auch rechnerisch einer Fortführung derselben periodischen Zahlung nach der Rückzahlung eines Annuitätendarlehens.

Die Formeln sind unabhängig von der Periode, in der der Zinssatz für diese Periode eingegeben wird.^[1]

Kapitalumschlag mit einem Kredit

Folgende Mengen sind wichtig:

• ${Anzeigestil T}$: der geliehene Betrag, der Betrag der Anfangsschuld
• ${displaystyle n}$: die Anzahl der Perioden
• ${Displaystil J}$: der regelmäßig zu zahlende Betrag, bestehend aus der Rückzahlung (der Verringerung der Schulden) zuzüglich der zu zahlenden Zinsen
• ${Anzeigestil i}$: der Zinssatz als Bruchteil, d. h. der Prozentsatz dividiert durch 100, für den betreffenden Zeitraum

Wie ein Jahr ${displaystyle p}$ Perioden beträgt der Zinssatz für ein Jahr

${displaystyle i_{0}=(1 i)^{p}-1}$.

Umgekehrt berechnet sich der Zinssatz für eine Periode aus dem Jahreszinssatz ${displaystyle i_{0}}$ durch die Formel:

${displaystyle i=(1 i_{0})^{1/p}-1}$.

Für die k-der Zeitraum besteht aus dem periodisch zu zahlenden Betrag ${Displaystil J}$ von:

• das k-die Erlösung ${displaystyle a_{k}}$ und
• die Zinsen wurden dann bezahlt ${displaystyle r_{k}}$.

Nach der Zahlung ist

• die Restschuld ${displaystyle T_{k}}$

Es gelten folgende Beziehungen:

${displaystyle J=a_{k} r_{k}}$

${displaystyle r_{k}=iT_{k-1}}$

${Displaystil T_{k-1}-a_{k}=T_{k}}$

Daraus folgt:

${displaystyle a_{k}=J-r_{k}=J-iT_{k-1}=Ji(T_{k-2}-a_{k-1})=(J-iT_{k-2}) ia_{k-1}}$${displaystyle =(J-r_{k-1}) ia_{k-1}=(1 i)a_{k-1}}$

Das Rückzahlungsformular a geometrische Folge mit grund ${Anzeigestil 1 i}$, So

${displaystyle a_{k}=(1 i)a_{k-1}=ldots =(1 i)^{k-1}a_{1}=(1 i)^{k-1}(J-iT) }$

und

${displaystyle r_{k}=J-(1 i)^{k-1}(J-iT)}$

Alle Rückzahlungen zusammen entsprechen dem Kreditbetrag, also:

${displaystyle T=a_{1} a_{2} ldots a_{n}=a_{1}left(1 (1 i) (1 i)^{2} ldots (1 i)^{n-1}ight) ={frac {(1 i)^{n}-1}{i}}a_{1}}$

${displaystyle ={frac {(1 i)^{n}-1}{i}}{(J-iT)}}$

Daraus folgt für ${Displaystil J}$:

${displaystyle J={frac {i(1 i)^{n}}{(1 i)^{n}-1}}T={frac {i}{1-(1 i)^{-n}} }T}$ . . . . . (1)

Für die Restschuld ${displaystyle T_{k}}$ kann noch geschrieben werden:

${displaystyle T_{k}=T-(a_{1} a_{2} ldots a_{k})=T-{frac {(1 i)^{k}-1}{i}}(J-iT) =links(1-{frac {(1 i)^{k}-1}{(1 i)^{n}-1}}ight)T}$

In manchen Fällen entscheiden sich die Leute nicht für eine feste Laufzeit, sondern entscheiden sich für eine bestimmte Rente ${Displaystil J}$. Die Restzahlung wird dann in der Regel nicht gleich ${Displaystil J}$, aber so, dass die Restschuld getilgt wird.

Die Laufzeit nein kann aus obiger Formel (1) bestimmt werden:

${displaystyle n=^{1 i}log(J/(J-iT))}$

Dies wird normalerweise keine ganze Zahl sein, also ${displaystyle n}$ wird aufgerundet und die Restzahlung beträgt weniger als ${Displaystil J}$.

Kapitalgewinne beim Sparen

Folgende Mengen sind wichtig:

• ${Displaystil J}$: der Betrag, der regelmäßig eingezahlt werden soll
• ${Anzeigestil i}$: der Zinssatz als Bruchteil (Perunage), d. h. der Prozentsatz dividiert durch 100, für den betreffenden Zeitraum

Am Ende von nein-der Zeitraum, d.h. kurz vor der nächsten Einzahlung, wird verzinst ${displaystyle r_{n}}$ erhalten und das angesammelte Kapital beträgt ${displaystyle T_{n}}$. Es gelten folgende Beziehungen:

${displaystyle r_{n}=ileft(T_{n-1} Jagd)}$

${displaystyle T_{n}=links(T_{n-1} Jagd) r_{n}}$

Außerdem erfolgt die Einzahlung immer zu Beginn einer Periode, so

${Displaystil T_{0}=0}$

Daraus folgt:

${displaystyle T_{n}=(1 i)links(T_{n-1} Jagen)=(1 i)links((1 i)links(T_{n-2} Jagen)=ldots =}$

${displaystyle =left((1 i) (1 i)^{2} ldots (1 i)^{n}night)J={frac {(1 i)^{n}-1}{i}}(1 i)Y}$

Oft ist das angesammelte Kapital auch ${displaystyle S_{n}}$betrachtet unmittelbar nach dem nein- Zeit einplanen. Die erhaltenen Zinsen ${displaystyle r_{n}}$ geht es um das angesammelte Kapital ${displaystyle S_{n-1}}$. Es gelten folgende Beziehungen:

${displaystyle r_{n}=iS_{n-1}}$

${Anzeigestil S_{n}=S_{n-1} r_{n} J}$

In diesem Fall

${Displaystil S_{1}=J}$

und folgt

${displaystyle S_{n}=(1 i)S_{n-1} J=(1 i){ ig (}left((1 i)S_{n-2} Jagd) J{ ig )}=ldots =}$

${displaystyle =left(1 (1 i) (1 i)^{2} ldots (1 i)^{n-1}ight)J={frac {(1 i)^{n}-1}{i} }J}$

Postnumerando und prenumerando Annuität

Die obigen Formeln gelten für die sogenannte Postnumerando-Annuität, also bei Zahlung am Ende einer Periode.

Die Pränumerando-Rente, dh bei Vorauszahlung, kann berechnet werden, indem die Postnumerando-Rente durch (1 i) geteilt wird.

Versicherungsmathematische Notation

In dem Versicherungsmathematik es wird eine spezielle Schreibweise verwendet^[2] (obwohl in der Versicherungsmathematik die Wahrscheinlichkeiten von Leben und Tod eine große Rolle spielen und bei einer reinen Rente kein Thema sind). Für das Verhältnis zwischen Darlehenssumme und Annuität gilt: ${Displaystil T/Y}$, schreibt man:

${displaystyle a_{{overline {n|}}i}={frac {1-(1 i)^{-n}}{i}}}$

Dies wird "ein Winkel n durch i" ausgesprochen.

In einem Kontext, in dem ich muss nicht angegeben werden, es wird kurz ${displaystyle ,a_{overline {n|}}}$ ("ein Winkel n").

Dies kann ausgedrückt werden:

${displaystyle T=a_{{overline {n|}}i},J}$

${displaystyle T_{k}={frac {,a_{{overline {n-k|}}i}}{,a_{{overline {n|}}i}}}T}$

Wert von T / J

Das Verhältnis T / J (So ${displaystyle ,a_{{overline {n|}}i}}$)^[3] steigt in nein von ${displaystyle {frac {1}{1 i}}}$ zu ${displaystyle {frac {1}{i}}}$, und absteigend in ich von nein auf 0 und ist:

• für kleine nicht: etwas weniger als nein.
• für große nein und Klein ich: etwas weniger als ${displaystyle {frac {1-e^{-ni}}{i}}}$.

Bei einem sehr hohen Zinssatz pro Periode (z.B. aufgrund sehr hoher Inflation oder sehr langer Laufzeit), nein > 1 Geld ${displaystyle ,a_{{overline {n|}}i}<1}$, und somit | t | < | J |. In Bezug auf die regelmäßige Zahlung J anstatt alles auf einmal zu bezahlen t: Der Aufschub vor Beginn der Zahlung überwiegt die Tatsache, dass die Zahlung auf mehrere Raten verteilt wird. Biene nein = 2 dies gilt ungefähr ab ich = 0,62.

Kreditbeispiele

Beispiel 1

Ein Betrag von '100.000'T -- wird zu einem jährlichen Zinssatz von 4% geliehen. Der Betrag muss in 10 Jahren zurückgezahlt werden. Der Zinssatz ist also ich = 0,04 und mit obiger Formel wird der Ratenbetrag berechnet:

${displaystyle J={frac {0{,}04}{1-1{,}04^{-10}}} imes 100000={frac {0{,}04}{1-0{,}6755564168}} imes 100000={frac {0{,}04}{0{,}324435831}} imes 100000=12329{,}09}$ €.

Die folgende Tabelle zeigt in ganzen Euro die Entwicklung der jährlichen Zinszahlungen, der jährlichen Tilgung und der Restschuld am Jahresende.

Struktur der Annuität eines Annuitätendarlehens, 10 Jahre 100.000 € zu 4%

Jahr	Interesse	Erlösung	Restschuld
0	-	-	100 000
1	4000	8329	91671
2	3667	8662	83009
3	3320	9009	74000
4	2960	9369	64631
5	2585	9744	54887
6	2195	10134	44753
7	1790	10539	34214
8	1369	10961	23254
9	930	11399	11855
10	474	11855	0

Beispielsweise:

${displaystyle a_{3}=9008{,}75}$

${Displaystil T_{2}=83008{,}65}$

${displaystyle r_{3}=3320{,}35=0{,}04 imes 73008{,}65=i,T_{2}}$

${displaystyle a_{3} r_{3}=9008{,}75 3320{,}35=12329{,}10=J}$

Der Barwert der k-der Ratenbetrag ist gleich dem (11-k) - der Rückzahlungsbetrag. Die des 1. beträgt also 11.855 €, die der 2. 11.399 € usw.

Beispiel 2

Geliehener Betrag T = 100.000 Euro
Monatliche Bedingungen
Laufzeit 20 Jahre, n = 240
Jahreszins (effektiv) i = 5,1 %

${displaystyle mathrm {monatliche Zinsen} =(1 mathrm {jährliche Zinsen} )^{1/12}-1=1{,}051^{0{,}083333}-1=0{,}0041538}$

Ratenzahlung:

${displaystyle J=100.000,{frac {0,004154}{1-(1 0,004154)^{-240}}}=659.12quad }$ Euro.

davon beim 1. Mal Zinsen 100.000 x 0,004154 = 415,40 Euro und Rückzahlung 659,12 - 415,4 = 243,72 Euro.

Beispiel 3

Jemand kann drei Jahre lang 1000 Euro jährlich zu einem Zinssatz von 4% zahlen. Wie viel kann er ausleihen? Es gilt also: J = 1000, i = 0,04 und n = 3. Der zu leihende Betrag T ergibt sich aus:

${displaystyle T={frac {1-(1 i)^{-n}}{i}},J={frac {1-(1 0{,}04)^{-3}}{0{,} 04}}1000=2775}$ Euro.

Beachten Sie, dass die obige Berechnung für das folgende Problem gleich ist: Der Zins auf einem Sparkonto beträgt 4%. Jemand möchte für drei Jahre 1000 Euro vom Sparkonto abheben, hat aber nach diesen drei Jahren noch 0 Euro auf dem Endguthaben. Wie viel soll er auf das Konto einzahlen? Die Antwort lautet wieder 2775 Euro.

Kapitalbewegungen bei einem Darlehen für die ersten Perioden

Raus aus ${Anzeigestil T}$ der geliehene Betrag, die Anfangsschuld, ${Displaystil J}$ der regelmäßig gezahlte Betrag, bestehend aus Kapital plus Zinsen, und ${Anzeigestil i}$ der Zinssatz als Bruch (Prozentsatz dividiert durch 100).

• Nach Periode 1 ein Betrag ${Anzeigestil J,}$ bezahlt.

Der Zinsanteil davon ist

${displaystyle Tcdot i}$

Der Erlösungsteil ist also

${displaystyle J-Tcdot i}$

Nach 1 Periode beträgt der ausstehende Betrag daher

${Anzeigestil T-(J-Tcdot i)=Tcdot (1 i)-J}$

• Nach Periode 2 wird ein Betrag J gezahlt.

Der Zinsanteil davon ist

${Anzeigestil (Tcdot (1 i)-J) cdot i}$

Der Erlösungsteil ist also

${Anzeigestil J-(Tcdot (1 i)-J)cdot i=Jcdot (1 i)-Tcdot (i i^{2})}$

Nach 2 Perioden beträgt der ausstehende Betrag daher

${Displaystyle Tcdot (1 i)-J-{Jcdot (1 i)-Tcdot (i i^{2})}=}$${Displaystil Tcdot (1 2i i^{2})-Jcdot (2 i)}$

• Nach Periode 3 wird wieder ein Betrag J gezahlt.

Der Zinsanteil davon ist

${displaystyle (Tcdot (1 2i i^{2})-Jcdot (2 i))cdot i=}$${displaystyle Tcdot (i 2i^{2} i^{3})-Jcdot (2i i^{2})}$

Der Rückzahlungsteil ist also wieder J minus dem Zinsteil, also

${displaystyle Jcdot (1 2i i^{2})-Tcdot (i 2i^{2} i^{3})}$.

Nach 3 Perioden beträgt der ausstehende Betrag also

${Displaystyle Tcdot (1 3i 3i^{2} i^{3})-Jcdot (3 3i i^{2})}$

• Ein Betrag J wird auch nach 4 Perioden gezahlt.

Der Zinsanteil beträgt

${displaystyle Tcdot (i 3i^{2} 3i^{3} i^{4})-Jcdot (3i 3i^{2} i^{3})}$

der Rückzahlungsteil ist also

${displaystyle Jcdot (1 3i 3i^{2} i^{3})-Tcdot (i 3i^{2} 3i^{3} i^{4})}$

Nach 4 Perioden beträgt der ausstehende Betrag daher

${Displaystyle Tcdot (1 4i 6i^{2} 4i^{3} i^{4})-Jcdot (4 6i 4i^{2} i^{3})}$

• Nun, nach viermaliger Iteration, sind wir an dem Punkt angelangt, an dem wir im Ergebnis die allgemeine Formel für den ausstehenden Betrag nach k Perioden erkennen können. Dieser Betrag ist

${Anzeigestil Tcdot (1 i)^{k}-Jcdot {(1 i)^{k}-1}/i}$

Gesucht ${Displaystil J}$ für die gilt, dass nach n Perioden der Gesamtbetrag genau zurückgezahlt wird. Voraussetzung ist also, dass der hier angegebene Betrag genau Null ist:

${Anzeigestil Tcdot (1 i)^{n}-Jcdot {(1 i)^{n}-1}/i=0}$

Es folgt dem

${Anzeigestil Tcdot (1 i)^{n}=Jcdot {(1 i)^{n}-1}/i}$

und damit

${displaystyle J={frac {Tcdot (1 i)^{n}}{{(1 i)^{n}-1}/i}}=Tcdot {frac {i(1 i)^{n}}{ (1 i)^{n}-1}}=Tcdot {frac {i}{1-{frac {1}{(1 i)^{n}}}}}}}$

Wir können das auch schreiben als

${displaystyle T=J{frac {(1 i)^{n}-1}{i(1 i)^{n}}}=J{frac {1-(1 i)^{-n}}{i }}}$

Beispiel für das Speichern

Beispiel

Man zahlt 100 Euro zu Beginn jedes Jahres für 3 Jahre ein und erhält 10 % Zinsen pro Jahr. Am Ende des dritten Jahres beträgt die Gutschrift:

${displaystyle {frac {(1 0{,}10)^{3}-1}{0{,}10}}(1 0{,}10) imes 100=364{,}10quad }$ Euro

Externe Links

• Einfache Einlösetabelle basierend auf Wikipedia-Formeln