WikiDer > Приближенное байесовское вычисление

Часть серии по
Байесовская статистика
Теория
Допустимое правило принятия решения Байесовская эффективность Байесовская вероятность Вероятностные интерпретации Теорема Байеса Фактор Байеса Байесовский вывод Байесовская сеть Прежний Задний Вероятность Конъюгировать приор Задний прогностический Гиперпараметр Hyperprior Принцип безразличия Принцип максимальной энтропии Эмпирический метод Байеса Правило Кромвеля Теорема Бернштейна – фон Мизеса Критерий Шварца Достоверный интервал Максимальная апостериорная оценка Радикальный вероятности
Методы
Байесовская линейная регрессия Байесовская оценка Приближенное байесовское вычисление Цепь Маркова Монте-Карло
Математический портал
v т е

Приближенное байесовское вычисление (ABC) представляет собой класс вычислительные методы укорененный в Байесовская статистика которые можно использовать для оценки апостериорных распределений параметров модели.

Во всех модельных статистические выводы, то функция правдоподобия имеет центральное значение, поскольку выражает вероятность наблюдаемых данных при определенных условиях. статистическая модель, и, таким образом, количественно оценивает вспомогательные данные для конкретных значений параметров и выбора среди различных моделей. Для простых моделей обычно можно получить аналитическую формулу для функции правдоподобия. Однако для более сложных моделей аналитическая формула может быть неуловимой, или вычисление функции правдоподобия может оказаться очень затратным с точки зрения вычислений.

Методы ABC обходят оценку функции правдоподобия. Таким образом, методы ABC расширяют сферу моделей, для которых можно рассматривать статистический вывод. Методы ABC математически хорошо обоснованы, но они неизбежно делают предположения и приближения, влияние которых требует тщательной оценки. Кроме того, более широкая область применения ABC усугубляет проблемы оценка параметров и выбор модели.

ABC быстро завоевала популярность в последние годы, в частности, для анализа сложных проблем, возникающих в Биологические науки, например в популяционная генетика, экология, эпидемиология, и системная биология.

История

Первые идеи, связанные с азбукой, относятся к 1980-м годам. Дональд Рубин, обсуждая интерпретацию байесовских утверждений в 1984 г.,^[1] описал гипотетический механизм выборки, который дает выборку из апостериорное распределение. Эта схема была скорее концептуальной. мысленный эксперимент показать, какие манипуляции выполняются при выводе апостериорных распределений параметров. Описание механизма отбора проб точно совпадает с описанием Схема ABC-отказа, и эту статью можно считать первой, описывающей приближенные байесовские вычисления. Однако двухступенчатый квинконс был построен Фрэнсис Гальтон в конце 1800-х годов это можно рассматривать как физическую реализацию Схема ABC-отказа для одного неизвестного (параметра) и одного наблюдения.^[2] Еще одно прозорливое замечание было сделано Рубином, когда он утверждал, что в байесовском выводе прикладные статистики не должны соглашаться только на аналитически поддающиеся обработке модели, а вместо этого должны рассматривать вычислительные методы, которые позволяют им оценивать интересующее апостериорное распределение. Таким образом, можно рассмотреть более широкий спектр моделей. Эти аргументы особенно актуальны в контексте ABC.

В 1984 г. Питер Диггл и Ричард Граттон^[3] предлагается использовать схему систематического моделирования для аппроксимации функции правдоподобия в ситуациях, когда ее аналитическая форма несговорчивый. Их метод был основан на определении сетки в пространстве параметров и использовании ее для аппроксимации правдоподобия путем запуска нескольких симуляций для каждой точки сетки. Затем приближение было улучшено путем применения методов сглаживания к результатам моделирования. Хотя идея использования моделирования для проверки гипотез не была новой,^[4][5] Диггл и Граттон, по-видимому, ввели первую процедуру, использующую моделирование, чтобы сделать статистический вывод в обстоятельствах, когда вероятность неразрешима.

Хотя подход Диггла и Граттона открыл новые горизонты, их метод еще не был полностью идентичен тому, что сейчас известно как ABC, поскольку он был направлен на аппроксимацию вероятности, а не апостериорного распределения. Статья из Симон Таваре и другие.^[6] был первым, кто предложил алгоритм ABC для апостериорного вывода. В их основополагающей работе был рассмотрен вывод о генеалогии данных последовательности ДНК, и, в частности, проблема определения апостериорного распределения времени до самый последний общий предок отобранных лиц. Такой вывод аналитически не поддается анализу для многих демографических моделей, но авторы представили способы моделирования сливающихся деревьев в рамках предполагаемых моделей. Выборка из апостериорных параметров модели была получена путем принятия / отклонения предложений на основе сравнения количества сегрегационных участков в синтетических и реальных данных. За этой работой последовало прикладное исследование по моделированию вариаций Y-хромосомы человека. Джонатан К. Причард и другие.^[7] используя метод ABC. Наконец, термин приближенное байесовское вычисление был введен Марком Бомонтом. и другие.,^[8] дальнейшее расширение методологии ABC и обсуждение пригодности подхода ABC более конкретно для проблем популяционной генетики. С тех пор ABC распространилась на приложения вне популяционной генетики, такие как системная биология, эпидемиология и др. филогеография.

Метод

Мотивация

Распространенное воплощение Теорема Байеса связывает условная возможность (или плотность) определенного значения параметра ${displaystyle heta}$ данные данные ${displaystyle D}$ к вероятность из ${displaystyle D}$ данный ${displaystyle heta}$ по правилу

${Displaystyle p (heta | D) = {гидроразрыв {p (D | heta) p (heta)} {p (D)}}}$,

куда ${displaystyle p (heta | D)}$ обозначает апостериорную, ${displaystyle p (D | heta)}$ вероятность, ${displaystyle p (heta)}$ приор и ${displaystyle p (D)}$ доказательства (также называемые предельная вероятность или априорная прогностическая вероятность данных).

Априор представляет убеждения о ${displaystyle heta}$ перед ${displaystyle D}$ доступен, и это часто определяется путем выбора конкретного распределения среди набора хорошо известных и поддающихся обработке семейств распределений, так что как оценка априорных вероятностей, так и случайное генерирование значений ${displaystyle heta}$ относительно просты. Для определенных типов моделей более прагматично указать предварительную ${displaystyle p (heta)}$ используя факторизацию совместного распределения всех элементов ${displaystyle heta}$ с точки зрения последовательности их условного распределения. Если вас интересуют только относительные апостериорные вероятности различных значений ${displaystyle heta}$, доказательство ${displaystyle p (D)}$ можно игнорировать, так как он представляет собой нормализующая константа, который сокращается для любого отношения апостериорных вероятностей. Однако по-прежнему необходимо оценить вероятность ${displaystyle p (D | heta)}$ и предыдущий ${displaystyle p (heta)}$. Для многих приложений это вычислительно дорогойили даже совершенно неосуществимо, чтобы оценить вероятность,^[9] что мотивирует использование ABC для обхода этой проблемы.

Алгоритм отклонения ABC

Все методы на основе ABC аппроксимируют функцию правдоподобия с помощью моделирования, результаты которого сравниваются с наблюдаемыми данными.^[10][11][12] Более конкретно, с помощью алгоритма отклонения ABC - самой базовой формы ABC - набор точек параметров сначала выбирается из предыдущего распределения. Учитывая выбранную точку параметра ${displaystyle {hat {heta}}}$, набор данных ${displaystyle {hat {D}}}$ затем моделируется в рамках статистической модели ${displaystyle M}$ указано ${displaystyle {hat {heta}}}$. Если сгенерированный ${displaystyle {hat {D}}}$ слишком отличается от наблюдаемых данных ${displaystyle D}$, значение параметра выборки отбрасывается. Точнее говоря, ${displaystyle {hat {D}}}$ принимается с терпением ${displaystyle epsilon geq 0}$ если:

${displaystyle ho ({hat {D}}, D) leq epsilon}$,

где мера расстояния ${displaystyle ho ({шляпа {D}}, D)}$ определяет уровень несоответствия между ${displaystyle {hat {D}}}$ и ${displaystyle D}$ на основе заданного метрика (например. Евклидово расстояние). Обычно требуется строго положительный допуск, поскольку вероятность того, что результат моделирования точно совпадает с данными (событие ${displaystyle {hat {D}} = D}$) пренебрежимо мало для всех, кроме тривиальных приложений ABC, что на практике привело бы к отклонению почти всех точек выборки параметров. Результатом алгоритма отклонения ABC является выборка значений параметров, приблизительно распределенных в соответствии с желаемым апостериорным распределением и, что особенно важно, полученных без необходимости явно оценивать функцию правдоподобия.

Оценка параметров приближенным байесовским вычислением: концептуальный обзор.

Сводные статистические данные

Вероятность создания набора данных ${displaystyle {hat {D}}}$ с небольшим расстоянием до ${displaystyle D}$ обычно уменьшается с увеличением размерности данных. Это приводит к значительному снижению вычислительной эффективности вышеупомянутого базового алгоритма отклонения ABC. Распространенный подход к уменьшению этой проблемы - замена ${displaystyle D}$ с набором низкоразмерных сводные статистические данные ${displaystyle S (D)}$, которые выбраны для сбора соответствующей информации в ${displaystyle D}$. Критерий приемлемости в алгоритме отклонения ABC становится:

${displaystyle ho (S ({hat {D}}), S (D)) leq epsilon}$.

Если сводная статистика достаточный по параметрам модели ${displaystyle heta}$, полученное таким образом повышение эффективности не вносит погрешности.^[13] Действительно, по определению, достаточность означает, что вся информация в ${displaystyle D}$ о ${displaystyle heta}$ захвачен ${displaystyle S (D)}$.

В качестве подробно изложено ниже, как правило, невозможно, вне экспоненциальное семейство распределений, чтобы определить конечномерный набор достаточной статистики. Тем не менее, информативная, но, возможно, недостаточная сводная статистика часто используется в приложениях, где логический вывод выполняется с помощью методов ABC.

Пример

Динамическая бистабильная скрытая марковская модель

Наглядным примером является бистабильный система, которую можно охарактеризовать скрытая марковская модель (HMM) подвержены шумам измерения. Такие модели используются для многих биологических систем: они, например, использовались в разработке, клеточная сигнализация, активация/ деактивация, логическая обработка и неравновесная термодинамика. Например, поведение Соник ежик (Shh) фактор транскрипции в Drosophila melanogaster можно смоделировать с помощью HMM.^[14] (Биологическая) динамическая модель состоит из двух состояний: A и B. Если вероятность перехода из одного состояния в другое определяется как ${displaystyle heta}$ в обоих направлениях, то вероятность оставаться в одном и том же состоянии на каждом временном шаге равна ${displaystyle {1- heta}}$. Вероятность правильно измерить состояние равна ${displaystyle gamma}$ (и наоборот, вероятность неверного измерения равна ${displaystyle {1-gamma}}$).

Из-за условных зависимостей между состояниями в разные моменты времени вычисление вероятности данных временных рядов несколько утомительно, что иллюстрирует мотивацию использования ABC. Вычислительная проблема для базовой ABC - это большая размерность данных в таком приложении. Размерность можно уменьшить с помощью сводной статистики. ${displaystyle S}$, которая представляет собой частоту переключений между двумя состояниями. Абсолютная разница используется как мера расстояния. ${displaystyle ho (cdot, cdot)}$ с терпимостью ${displaystyle epsilon = 2}$. Апостериорный вывод о параметре ${displaystyle heta}$ можно сделать, выполнив пять шагов, представленных в.

Шаг 1: Предположим, что наблюдаемые данные образуют последовательность состояний AAAABAABBAAAAAABAAAA, которая генерируется с использованием ${displaystyle heta = 0,25}$ и ${displaystyle gamma = 0,8}$. Соответствующая сводная статистика - количество переключений между состояниями в экспериментальных данных - равна ${displaystyle omega _ {E} = 6}$.

Шаг 2: Если ничего не известно о ${displaystyle heta}$, форменный приор в интервале ${displaystyle [0,1]}$ Используется. Параметр ${displaystyle gamma}$ Предполагается, что известно и зафиксировано значение, генерирующее данные ${displaystyle gamma = 0,8}$, но в целом его можно оценить и по наблюдениям. Всего ${displaystyle n}$ точки параметров берутся из предыдущего, и модель моделируется для каждой из точек параметров ${displaystyle heta _ {i}: {ext {}} i = 1, ldots, n}$, что приводит к ${displaystyle n}$ последовательности смоделированных данных. В этом примере ${displaystyle n = 5}$, с каждым отрисованным параметром и смоделированным набором данных, записанным в Таблица 1, столбцы 2-3. На практике, ${displaystyle n}$ должен быть намного больше, чтобы получить подходящее приближение.

Пример алгоритма отклонения ABC

я	${displaystyle heta _ {i}}$	Смоделированные наборы данных (шаг 2)	Сводная статистика ${displaystyle omega _ {S, i}}$ (шаг 3)	Расстояние ${displaystyle ho (omega _ {S, i}, omega _ {E})}$ (шаг 4)	Исход (шаг 4)
1	0.08	AABAAAABAABAAABAAAAA	8	2	принято
2	0.68	AABBABABAAABBABABBAB	13	7	отклоненный
3	0.87	BBBABBABBBBABABBBBBA	9	3	отклоненный
4	0.43	AABAAAAABBABBBBBBBBA	6	0	принято
5	0.53	ABBBBBAABBABBABAABBB	9	3	отклоненный

Шаг 3: Сводная статистика вычисляется для каждой последовательности смоделированных данных. ${displaystyle omega _ {S, i}: {ext {}} i = 1, ldots, n}$.

Шаг 4: Расстояние между наблюдаемой и моделируемой частотами переходов ${displaystyle ho (omega _ {S, i}, omega _ {E}) = | omega _ {S, i} -omega _ {E} |}$ вычисляется для всех точек параметров. Точки параметров, для которых расстояние меньше или равно ${displaystyle epsilon}$ принимаются как примерные образцы из апостериорного отдела.

Задняя часть ${displaystyle heta}$ полученное в примере (красный), по сравнению с истинным апостериорным распределением (черный) и моделированием ABC с большим ${displaystyle n}$. Использование недостаточной сводной статистики ${displaystyle omega}$ вносит предвзятость, даже когда требует ${displaystyle epsilon = 0}$ (светло-зеленый).

Шаг 5: Апостериорное распределение аппроксимируется принятыми точками параметров. Апостериорное распределение должно иметь немалую вероятность для значений параметров в области около истинного значения ${displaystyle heta}$ в системе, если данные достаточно информативны. В этом примере масса апостериорной вероятности равномерно разделена между значениями 0,08 и 0,43.

Апостериорные вероятности получаются через ABC с большими ${displaystyle n}$ с помощью сводной статистики (с ${displaystyle epsilon = 0}$ и ${displaystyle epsilon = 2}$) и полную последовательность данных (с ${displaystyle epsilon = 0}$). Они сравниваются с истинными апостериорными данными, которые можно точно и эффективно вычислить с помощью Алгоритм Витерби. Сводной статистики, используемой в этом примере, недостаточно, так как отклонение от теоретического апостериорного значения является значительным даже при строгих требованиях ${displaystyle epsilon = 0}$. Для получения апостериорных данных, сосредоточенных вокруг ${displaystyle heta = 0,25}$, истинное значение ${displaystyle heta}$.

В этом примере приложения ABC используются упрощения в иллюстративных целях. Более реалистичные приложения ABC доступны во все большем количестве рецензируемых статей.^{[10][11][12][15]}

Сравнение моделей с ABC

Помимо оценки параметров, структура ABC может использоваться для вычисления апостериорных вероятностей различных моделей-кандидатов.^[16][17][18] В таких приложениях можно использовать иерархическую выборку отбраковки. Во-первых, модель выбирается из предыдущего распределения для моделей. Затем параметры выбираются из предыдущего распределения, назначенного этой модели. Наконец, моделирование выполняется, как в одномодельном ABC. Относительные частоты принятия для различных моделей теперь аппроксимируют апостериорное распределение для этих моделей. Опять же, были предложены вычислительные усовершенствования для ABC в пространстве моделей, такие как построение фильтра частиц в объединенном пространстве моделей и параметров.^[18]

После оценки апостериорных вероятностей моделей можно в полной мере использовать методы Сравнение байесовских моделей. Например, чтобы сравнить относительную правдоподобность двух моделей ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$, можно вычислить их апостериорное отношение, которое связано с Фактор Байеса ${displaystyle B_ {1,2}}$:

${displaystyle {frac {p (M_ {1} | D)} {p (M_ {2} | D)}} = {frac {p (D | M_ {1})} {p (D | M_ {2}) )}} {гидроразрыв {p (M_ {1})} {p (M_ {2})}} = B_ {1,2} {frac {p (M_ {1})} {p (M_ {2}) }}}$.

Если априорные значения модели равны, то есть ${displaystyle p (M_ {1}) = p (M_ {2})}$- коэффициент Байеса равен апостериорному отношению.

На практике, как обсуждается ниже, эти меры могут быть очень чувствительны к выбору параметров априорного распределения и сводной статистики, поэтому выводы сравнения моделей следует делать с осторожностью.

Подводные камни и способы их устранения

Потенциальные риски и способы их устранения в статистическом выводе на основе ABC

Источник ошибки	Возможная проблема	Решение	Подраздел
Ненулевой допуск ${displaystyle epsilon}$	Неточность вносит систематическую ошибку в вычисленное апостериорное распределение.	Теоретические / практические исследования чувствительности апостериорного распределения к толерантности. Шумная азбука.	# Аппроксимация заднего
Недостаточная сводная статистика	Потеря информации приводит к завышению достоверных интервалов.	Автоматический выбор / полуавтоматическое определение достаточной статистики. Проверки достоверности модели (например, Templeton 2009[19]).	# Выбор и достаточность сводной статистики
Небольшое количество моделей / неправильно указанные модели	Исследуемые модели не репрезентативны / не обладают предсказательной силой.	Тщательный подбор моделей. Оценка предсказательной силы.	# Небольшое количество моделей
Приоры и диапазоны параметров	Выводы могут быть чувствительны к выбору априори. Выбор модели может быть бессмысленным.	Проверить чувствительность байесовских факторов к выбору априорных точек. Имеются некоторые теоретические результаты по выбору априорной точки. Используйте альтернативные методы для проверки модели.	# Предварительное распределение и диапазоны параметров
Проклятие размерности	Низкая скорость приема параметров. Ошибки модели нельзя отличить от недостаточного изучения пространства параметров. Риск переобучения.	Методы редукции модели, если применимо. Способы ускорения исследования параметров. Контроль качества для выявления переобучения.	# Проклятие размерности
Рейтинг модели со сводной статистикой	Вычисление байесовских факторов в сводной статистике может не быть связано с байесовскими факторами в исходных данных, что может сделать результаты бессмысленными.	Используйте только сводные статистические данные, которые удовлетворяют необходимым и достаточным условиям для создания последовательного выбора байесовской модели. Используйте альтернативные методы для проверки модели.	# Коэффициент Байеса с ABC и сводной статистикой
Выполнение	Низкая защита от общих допущений в процессе моделирования и вывода.	Проверка результатов на вменяемость. Стандартизация программного обеспечения.	# Обязательный контроль качества

Как и для всех статистических методов, для применения методов, основанных на ABC, к реальным задачам моделирования необходим ряд допущений и приближений. Например, установка параметр допуска ${displaystyle epsilon}$ к нулю гарантирует точный результат, но обычно делает вычисления слишком дорогими. Таким образом, значения ${displaystyle epsilon}$ больше нуля используются на практике, что вносит систематическую ошибку. Аналогичным образом, достаточная статистика обычно недоступна, и вместо нее используется другая сводная статистика, что вносит дополнительную систематическую ошибку из-за потери информации. Дополнительные источники систематической ошибки - например, в контексте выбора модели - могут быть более тонкими.^[13][20]

В то же время некоторые критические замечания, направленные на методы ABC, в частности, в области филогеография,^[19][21][22] не являются специфическими для ABC и применимы ко всем байесовским методам или даже ко всем статистическим методам (например, выбор предварительного распределения и диапазонов параметров).^[10][23] Однако из-за способности ABC-методов работать с гораздо более сложными моделями, некоторые из этих общих ловушек имеют особое значение в контексте анализа ABC.

В этом разделе обсуждаются эти потенциальные риски и рассматриваются возможные способы их устранения.

Аппроксимация заднего

Незначительный ${displaystyle epsilon}$ поставляется с ценой, которую образцы из ${displaystyle p (heta | ho ({hat {D}}, D) leq epsilon)}$ вместо истинного заднего ${displaystyle p (heta | D)}$. С достаточно малым допуском и разумной мерой расстояния полученное распределение ${displaystyle p (heta | ho ({hat {D}}, D) leq epsilon)}$ должен часто приближаться к фактическому целевому распределению ${displaystyle p (heta | D)}$ достаточно хорошо. С другой стороны, допуск, который достаточно велик, чтобы каждая точка в пространстве параметров принималась, даст копию предыдущего распределения. Существуют эмпирические исследования разницы между ${displaystyle p (heta | ho ({hat {D}}, D) leq epsilon)}$ и ${displaystyle p (heta | D)}$ как функция ${displaystyle epsilon}$,^[24] и теоретические результаты для верхней ${displaystyle epsilon}$-зависимая граница погрешности оценок параметров.^[25] Точность апостериорной оценки (определяемой как ожидаемые квадратичные потери), полученной ABC, как функция ${displaystyle epsilon}$ также был исследован.^[26] Однако сходимость распределений при ${displaystyle epsilon}$ приближается к нулю и как это зависит от используемой меры расстояния - это важная тема, которую еще предстоит изучить более подробно. В частности, по-прежнему трудно отделить ошибки, вносимые этим приближением, от ошибок, вызванных неправильной спецификацией модели.^[10]

В качестве попытки исправить некоторую ошибку из-за ненулевого ${displaystyle epsilon}$было предложено использование локальной линейно-взвешенной регрессии с ABC для уменьшения дисперсии апостериорных оценок.^[8] Метод назначает веса параметрам в соответствии с тем, насколько хорошо смоделированные сводки соответствуют наблюдаемым, и выполняет линейную регрессию между сводками и взвешенными параметрами вблизи наблюдаемых сводок. Полученные коэффициенты регрессии используются для корректировки параметров выборки в направлении наблюдаемых итогов. Было предложено улучшение в форме нелинейной регрессии с использованием модели нейронной сети с прямой связью.^[27] Однако было показано, что апостериорные распределения, полученные с помощью этих подходов, не всегда согласуются с априорным распределением, что привело к переформулировке регрессионной корректировки, которая учитывает априорное распределение.^[28]

Наконец, статистический вывод с использованием ABC с ненулевым допуском ${displaystyle epsilon}$ не является дефектным по своей сути: при допущении ошибок измерения оптимальная ${displaystyle epsilon}$ на самом деле можно показать, что оно не равно нулю.^[26][29] Действительно, смещение, вызванное ненулевым допуском, может быть охарактеризовано и компенсировано путем введения определенного вида шума в итоговую статистику. Была установлена ​​асимптотическая согласованность для такой «зашумленной ABC», а также формулы для асимптотической дисперсии оценок параметров для фиксированного допуска.^[26]

Выбор и достаточность сводной статистики

Сводная статистика может использоваться для увеличения степени принятия ABC для данных большой размерности. Достаточная низкоразмерная статистика оптимальна для этой цели, поскольку она фиксирует всю важную информацию, имеющуюся в данных, в простейшей возможной форме.^[12] Однако низкоразмерная достаточная статистика обычно недостижима для статистических моделей, где вывод на основе ABC наиболее актуален, и, следовательно, некоторые эвристический обычно необходимо для определения полезной сводной статистики низкого измерения. Использование набора плохо подобранной сводной статистики часто приводит к завышению достоверные интервалы из-за подразумеваемой потери информации,^[12] что также может искажать дискриминацию между моделями. Доступен обзор методов выбора сводной статистики,^[30] которые могут служить ценным руководством на практике.

Один из подходов к получению большей части информации, представленной в данных, - это использование множества статистических данных, но точность и стабильность ABC, по-видимому, быстро снижается с увеличением количества сводных статистических данных.^[10][12] Вместо этого лучшая стратегия - сосредоточиться только на релевантной статистике - релевантность зависит от всей проблемы вывода, от используемой модели и от имеющихся данных.^[31]

Был предложен алгоритм для идентификации репрезентативного подмножества итоговой статистики путем итеративной оценки того, вносит ли дополнительная статистика значимое изменение апостериорной.^[32] Одна из проблем здесь заключается в том, что большая ошибка аппроксимации ABC может сильно повлиять на выводы о полезности статистики на любом этапе процедуры. Другой способ^[31] распадается на два основных этапа. Во-первых, эталонная аппроксимация апостериорной оценки строится путем минимизации энтропия. Наборы резюме кандидатов затем оцениваются путем сравнения апостериорных значений, аппроксимируемых ABC, с эталонными апостериорными.

В обеих этих стратегиях подмножество статистики выбирается из большого набора статистических данных-кандидатов. Вместо этого частичная регрессия методом наименьших квадратов Этот подход использует информацию из всех статистических данных кандидатов, каждая из которых имеет соответствующий вес.^[33] В последнее время значительный интерес вызывает метод построения сводок полуавтоматическим способом.^[26] Этот метод основан на наблюдении, что оптимальный выбор сводной статистики при минимизации квадратичных потерь точечных оценок параметров может быть получен через апостериорное среднее значение параметров, которое аппроксимируется путем выполнения линейной регрессии на основе смоделированных данных. .

Существенную ценность будут иметь методы идентификации сводной статистики, которые также могут одновременно оценить влияние на аппроксимацию апостериорной.^[34] Это связано с тем, что выбор сводной статистики и выбор допуска составляют два источника ошибок в результирующем апостериорном распределении. Эти ошибки могут нарушить ранжирование моделей, а также могут привести к неверным прогнозам модели. Действительно, ни один из вышеперечисленных методов не оценивает выбор сводок для целей выбора модели.

Фактор Байеса с ABC и сводной статистикой

Было показано, что сочетание недостаточной сводной статистики и ABC для выбора модели может быть проблематичным.^[13][20] Действительно, если позволить байесовскому фактору на основе сводной статистики ${displaystyle S (D)}$ обозначать ${displaystyle B_ {1,2} ^ {s}}$, связь между ${displaystyle B_ {1,2}}$ и ${displaystyle B_ {1,2} ^ {s}}$ принимает форму:^[13]

${displaystyle B_ {1,2} = {гидроразрыв {p (D | M_ {1})} {p (D | M_ {2})}} = {гидроразрыв {p (D | S (D), M_ {1) })} {p (D | S (D), M_ {2})}} {гидроразрыв {p (S (D) | M_ {1})} {p (S (D) | M_ {2})} } = {гидроразрыв {p (D | S (D), M_ {1})} {p (D | S (D), M_ {2})}} B_ {1,2} ^ {s}}$.

Таким образом, сводная статистика ${displaystyle S (D)}$ достаточно для сравнения двух моделей ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$ если и только если:

${displaystyle p (D | S (D), M_ {1}) = p (D | S (D), M_ {2})}$,

что приводит к тому ${displaystyle B_ {1,2} = B_ {1,2} ^ {s}}$. Из приведенного выше уравнения также ясно, что может быть огромная разница между ${displaystyle B_ {1,2}}$ и ${displaystyle B_ {1,2} ^ {s}}$ если условие не выполняется, что можно продемонстрировать на игрушечных примерах.^[13][17][20] Важно отметить, что достаточность для ${displaystyle M_ {1}}$ или же ${displaystyle M_ {2}}$ сама по себе или для обеих моделей не гарантирует достаточности для ранжирования моделей.^[13] Однако также было показано, что любые достаточная сводная статистика для модели ${displaystyle M}$ в котором оба ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$ находятся вложенный действительно для ранжирования вложенные модели.^[13]

Вычисление байесовских факторов на ${displaystyle S (D)}$ может поэтому вводить в заблуждение для целей выбора модели, если только соотношение между байесовскими факторами ${displaystyle D}$ и ${displaystyle S (D)}$ будут доступны или, по крайней мере, могут быть достаточно хорошо аппроксимированы. В качестве альтернативы, недавно были получены необходимые и достаточные условия для сводной статистики для последовательного выбора байесовской модели,^[35] которые могут дать полезные советы.

Однако эта проблема актуальна только для выбора модели, когда размер данных был уменьшен. Вывод на основе ABC, при котором фактические наборы данных сравниваются напрямую - как в случае некоторых приложений системной биологии (например, см. ^[36]) - обходит эту проблему.

Незаменимый контроль качества

Как ясно из приведенного выше обсуждения, любой анализ ABC требует выбора и компромиссов, которые могут оказать значительное влияние на его результаты. В частности, выбор конкурирующих моделей / гипотез, количество симуляций, выбор сводной статистики или порога приемлемости в настоящее время не могут основываться на общих правилах, но влияние этих вариантов следует оценивать и проверять в каждом исследовании.^[11]

Номер эвристические подходы для контроля качества ABC, например, количественная оценка доли дисперсии параметра, объясняемой сводной статистикой.^[11] Общий класс методов направлен на оценку того, дает ли вывод достоверные результаты, независимо от фактически наблюдаемых данных. Например, учитывая набор значений параметров, которые обычно берутся из априорного или апостериорного распределений для модели, можно сгенерировать большое количество искусственных наборов данных. Таким образом, качество и надежность вывода ABC можно оценить в контролируемых условиях, измерив, насколько хорошо выбранный метод вывода ABC восстанавливает истинные значения параметров, а также модели, если одновременно рассматриваются несколько структурно различных моделей.

Другой класс методов оценивает, был ли вывод успешным в свете данных наблюдаемых данных, например, путем сравнения апостериорного прогнозирующего распределения итоговой статистики с наблюдаемой суммарной статистикой.^[11] Сверх того, перекрестная проверка техники^[37] и прогнозные проверки^[38][39] представляют собой многообещающие будущие стратегии для оценки стабильности и прогностической достоверности выводов ABC вне выборки. Это особенно важно при моделировании больших наборов данных, потому что тогда апостериорная поддержка конкретной модели может показаться исключительно убедительной, даже если все предложенные модели на самом деле являются плохим представлением стохастической системы, лежащей в основе данных наблюдений. Прогностические проверки вне выборки могут выявить потенциальные систематические ошибки в модели и дать подсказки о том, как улучшить ее структуру или параметризацию.

Недавно были предложены принципиально новые подходы к выбору модели, в которых контроль качества является неотъемлемой частью процесса. ABC позволяет путем построения оценить расхождения между наблюдаемыми данными и прогнозами модели в отношении полного набора статистических данных. Эти статистические данные не обязательно совпадают со статистическими данными, используемыми в критерии приемки. Полученные в результате распределения расхождений использовались для выбора моделей, которые согласуются одновременно со многими аспектами данных,^[40] а несогласованность модели выявляется из противоречивых и взаимозависимых сводок. Другой метод выбора модели, основанный на контроле качества, использует ABC для аппроксимации эффективного числа параметров модели и отклонения апостериорных прогнозных распределений сводок и параметров.^[41] Затем информационный критерий отклонения используется в качестве меры соответствия модели. Также было показано, что модели, предпочтительные на основе этого критерия, могут противоречить моделям, поддерживаемым Байесовские факторы. По этой причине для получения правильных выводов полезно комбинировать разные методы выбора модели.

Контроль качества достижим и действительно выполняется во многих работах, основанных на ABC, но для определенных проблем оценка влияния параметров, связанных с методом, может быть сложной задачей. Однако можно ожидать, что быстро растущее использование ABC обеспечит более полное понимание ограничений и применимости метода.

Общие риски статистического вывода усугубляются в ABC

В этом разделе рассматриваются риски, которые, строго говоря, не относятся к ABC, но также актуальны и для других статистических методов. Однако гибкость, предлагаемая ABC для анализа очень сложных моделей, делает их очень актуальными для обсуждения здесь.

Предварительное распределение и диапазоны параметров

Спецификация диапазона и предварительное распределение параметров сильно выигрывают от предыдущих знаний о свойствах системы. Одна критика заключалась в том, что в некоторых исследованиях «диапазоны и распределения параметров предполагаются только на основании субъективного мнения исследователей»,^[42] что связано с классическими возражениями байесовских подходов.^[43]

При любом вычислительном методе обычно необходимо ограничить исследуемые диапазоны параметров. Диапазоны параметров следует, по возможности, определять на основе известных свойств изучаемой системы, но для практических приложений может потребоваться обоснованное предположение. Однако теоретические результаты относительно объективные априоры доступны, что может, например, основываться на принцип безразличия или принцип максимальной энтропии.^[44][45] С другой стороны, автоматизированные или полуавтоматические методы выбора предварительного распределения часто дают неправильная плотность. Поскольку большинство процедур ABC требуют генерации выборок из предыдущих, неправильные априорные значения не применимы напрямую к ABC.

Также следует помнить о цели анализа при выборе априорного распределения. В принципе, неинформативные и плоские априорные значения, которые преувеличивают наше субъективное незнание параметров, все же могут давать разумные оценки параметров. Однако байесовские факторы очень чувствительны к предварительному распределению параметров. Выводы о выборе модели, основанные на факторе Байеса, могут вводить в заблуждение, если тщательно не учитывать чувствительность выводов к выбору априорных значений.

Небольшое количество моделей

Методы, основанные на моделях, подвергались критике за то, что они не полностью покрывают пространство гипотез.^[22] Действительно, исследования, основанные на моделях, часто вращаются вокруг небольшого числа моделей, и из-за высоких вычислительных затрат на оценку одной модели в некоторых случаях может быть трудно охватить большую часть пространства гипотез.

Верхний предел количества рассматриваемых моделей-кандидатов обычно устанавливается значительными усилиями, необходимыми для определения моделей и выбора между множеством альтернативных вариантов.^[11] Не существует общепринятой специфической для ABC процедуры построения модели, поэтому вместо нее используются опыт и предварительные знания.^[12] Хотя более надежные процедуры для априори Выбор и формулировка модели были бы полезны, поскольку не существует универсальной стратегии для разработки моделей в статистике: разумная характеристика сложных систем всегда потребует значительного объема детективной работы и использования экспертных знаний из предметной области.

Некоторые противники ABC утверждают, что, поскольку только несколько моделей - субъективно выбранных и, вероятно, все неправильные - могут быть реалистично рассмотрены, ABC-анализ дает лишь ограниченное понимание.^[22] Однако существует важное различие между выявлением правдоподобной нулевой гипотезы и оценкой относительного соответствия альтернативных гипотез.^[10] Поскольку полезные нулевые гипотезы, которые потенциально верны, крайне редко могут быть выдвинуты в контексте сложных моделей, предсказательная способность статистических моделей в качестве объяснения сложных явлений гораздо важнее, чем проверка статистической нулевой гипотезы в этом контексте. Также распространено усреднение исследуемых моделей, взвешенное на основе их относительной правдоподобности, для определения характеристик модели (например, значений параметров) и для составления прогнозов.

Большие наборы данных

Большие наборы данных могут составлять вычислительное узкое место для методов, основанных на моделях. Было, например, указано, что в некоторых анализах на основе ABC часть данных следует опускать.^[22] Ряд авторов утверждали, что большие наборы данных не являются практическим ограничением,^[11][43] хотя серьезность этой проблемы сильно зависит от характеристик моделей. Некоторые аспекты проблемы моделирования могут способствовать сложности вычислений, например, размер выборки, количество наблюдаемых переменных или характеристик, временное или пространственное разрешение и т. Д. Однако с увеличением вычислительной мощности этот вопрос потенциально станет менее важным.

Вместо выборки параметров для каждого моделирования из предыдущего было предложено альтернативно объединить Алгоритм Метрополиса-Гастингса с ABC, что, как сообщалось, привело к более высокому уровню принятия, чем для простого ABC.^[34] Естественно, такой подход наследует общие трудности методов MCMC, такие как сложность оценки сходимости, корреляции между выборками из апостериорного анализа,^[24] и относительно плохая возможность распараллеливания.^[11]

Точно так же идеи последовательный Монте-Карло (SMC) и популяционные методы Монте-Карло (PMC) были адаптированы к настройке ABC.^[24][46] Общая идея состоит в том, чтобы итеративно подходить к апостериорному от предшествующего через последовательность целевых распределений. Преимущество таких методов по сравнению с ABC-MCMC состоит в том, что выборки из полученных апостериорных данных независимы. Кроме того, в последовательных методах уровни допуска не должны указываться перед анализом, а должны корректироваться адаптивно.^[47]

Относительно просто распараллелить ряд шагов в алгоритмах ABC на основе выборки отбраковки и последовательный Монте-Карло методы. Также было продемонстрировано, что параллельные алгоритмы могут привести к значительному ускорению вывода на основе MCMC в филогенетике,^[48] что может быть приемлемым подходом также для методов, основанных на ABC. Тем не менее, адекватная модель сложной системы, скорее всего, потребует интенсивных вычислений независимо от выбранного метода вывода, и выбор метода, который подходит для конкретного рассматриваемого приложения, остается за пользователем.

Проклятие размерности

Высокомерные наборы данных и многомерные пространства параметров могут потребовать моделирования чрезвычайно большого количества точек параметров в исследованиях на основе ABC, чтобы получить разумный уровень точности для апостериорных выводов. В таких ситуациях стоимость вычислений значительно возрастает и может в худшем случае сделать вычислительный анализ трудновыполнимым. Это примеры хорошо известных явлений, которые обычно называют общим термином. проклятие размерности.^[49]

Чтобы оценить, насколько сильно размерность набора данных влияет на анализ в контексте ABC, были выведены аналитические формулы для ошибки оценок ABC в зависимости от размерности сводной статистики.^[50][51] Кроме того, Блюм и Франсуа исследовали, как размерность сводной статистики связана со среднеквадратичной ошибкой для различных поправок к ошибке оценок ABC. Также утверждалось, что методы уменьшения размерности полезны, чтобы избежать проклятия размерности из-за потенциально низкоразмерной базовой структуры сводной статистики.^[50] Стремясь минимизировать квадратичные потери оценок ABC, Фернхед и Прангл предложили схему проецирования (возможно, многомерных) данных в оценки апостериорных средних значений параметра; эти средства, теперь имеющие то же измерение, что и параметры, затем используются в качестве сводной статистики для ABC.^[51]

ABC можно использовать для вывода проблем в пространствах параметров большой размерности, хотя следует учитывать возможность переобучения (например, см. Методы выбора модели в ^[40] и ^[41]). Однако вероятность принятия смоделированных значений параметров при заданном допуске с помощью алгоритма отклонения ABC обычно уменьшается экспоненциально с увеличением размерности пространства параметров (из-за глобального критерия приемлемости).^[12] Хотя ни один вычислительный метод (основанный на ABC или нет), похоже, не может преодолеть проклятие размерности, недавно были разработаны методы для обработки пространств параметров большой размерности при определенных предположениях (например, на основе полиномиальной аппроксимации на разреженных сетках,^[52] что потенциально может значительно сократить время моделирования для ABC). Однако применимость таких методов зависит от конкретной проблемы, и в целом не следует недооценивать сложность исследования пространств параметров. Например, введение детерминированной оценки глобальных параметров привело к сообщениям о том, что глобальные оптимумы, полученные в нескольких предыдущих исследованиях проблем с низкой размерностью, были неверными.^[53] Поэтому для определенных проблем может быть сложно определить, является ли модель неправильной или как обсуждалось выше, неуместна ли исследуемая область пространства параметров.^[22] Более прагматичный подход - сократить масштаб проблемы за счет сокращения модели.^[12]

Программного обеспечения

В настоящее время доступен ряд пакетов программного обеспечения для применения ABC к определенным классам статистических моделей.

Пригодность отдельных пакетов программного обеспечения зависит от конкретного приложения, среды компьютерной системы и требуемых алгоритмов.

Смотрите также

• Цепь Маркова Монте-Карло
• Эмпирический байесовский

Рекомендации

Эта статья была адаптирована из следующего источника под CC BY 4.0 лицензия (2013) (отчеты рецензента): «Приближенное байесовское вычисление», PLOS вычислительная биология, 9 (1): e1002803, 2013 г., Дои:10.1371 / JOURNAL.PCBI.1002803, ISSN 1553-734X, ЧВК 3547661, PMID 23341757, Викиданные Q4781761

внешняя ссылка

• Даррен Уилкинсон (31 марта 2013 г.). «Введение в приближенные байесовские вычисления». Получено 2013-03-31.
• Расмус Баат (20 октября 2014 г.). «Крошечные данные, приближенное байесовское вычисление и носки Карла Бромана». Получено 2015-01-22.