WikiDer > Принцип аргументации

Argument principle
Простой контур C (черный), нули ж (синий) и полюса ж (красный). Здесь у нас есть

В комплексный анализ, то принцип аргумента (или же Принцип аргумента Коши) связывает разницу между количеством нули и полюсы из мероморфная функция к контурный интеграл функции логарифмическая производная.

В частности, если ж(z) - мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C, и ж не имеет нулей или полюсов на C, тогда

куда Z и п обозначим соответственно количество нулей и полюсов ж(z) внутри контура C, где каждый нуль и полюс считаются столько раз, сколько их множественность и порядоксоответственно указывают. Это утверждение теоремы предполагает, что контур C простой, то есть без самопересечений, и что он ориентирован против часовой стрелки.

В более общем плане предположим, что ж(z) - мероморфная функция на открытый набор Ω в комплексная плоскость и это C - замкнутая кривая в Ω, избегающая всех нулей и полюсов ж и является стягиваемый в точку внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω, пусть п(C,z) быть номер намотки из C вокруг z. потом

где первое суммирование ведется по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, а второе суммирование ведется по полюсам б из ж считал со своими заказами.

Интерпретация контурного интеграла

В контурный интеграл можно интерпретировать как 2πя умноженное на число извилистого пути ж(C) вокруг начала координат, используя замену ш = ж(z):

То есть это я умноженное на общее изменение аргумент из ж(z) в качестве z путешествует вокруг C, объясняя название теоремы; это следует из

и связь между аргументами и логарифмами.

Доказательство принципа аргумента

Позволять zZ быть нулем ж. Мы можем написать ж(z) = (z − zZ)kграмм(z) куда k - кратность нуля, поэтому грамм(zZ) ≠ 0. Получаем

и

С грамм(zZ) ≠ 0, то грамм' (z)/грамм(z) не имеет особенностей при zZ, и поэтому аналитична в zZ, откуда следует, что остаток из ж′(z)/ж(z) в zZ являетсяk.

Позволять zп быть полюсом ж. Мы можем написать ж(z) = (z − zп)мчас(z) куда м порядок полюса, а час(zп) ≠ 0. Тогда

и

аналогично тому, как указано выше. Следует, что час′(z)/час(z) не имеет особенностей при zп поскольку час(zп) ≠ 0 и, следовательно, аналитична в zп. Мы находим, что остатокж′(z)/ж(z) в zп это -м.

Собирая их вместе, каждый ноль zZ множественности k из ж создает простой столб дляж′(z)/ж(z) с остатком k, и каждый полюс zп порядка м изж создает простой столб для ж′(z)/ж(z) с остатком -м. (Здесь под простым полюсом мы понимаем полюс первого порядка.) Кроме того, можно показать, что ж′(z)/ж(z) не имеет других полюсов, а значит, и других остатков.

Посредством теорема о вычетах у нас есть интеграл о C это произведение 2πi и сумма остатков. Вместе сумма k для каждого нуля zZ - это количество нулей с учетом кратностей нулей, а также для полюсов, так что мы получили наш результат.

Приложения и последствия

Принцип аргумента можно использовать для эффективного определения местоположения нулей или полюсов мероморфных функций на компьютере. Даже с ошибками округления выражение даст результаты, близкие к целому числу; путем определения этих целых чисел для разных контуров C можно получить информацию о расположении нулей и полюсов. Численные испытания Гипотеза Римана используйте эту технику, чтобы получить верхнюю границу количества нулей Римана функция внутри прямоугольника, пересекающего критическую линию.

Доказательство Теорема Руше использует принцип аргумента.

Современные книги по теории управления с обратной связью довольно часто используют принцип аргумента в качестве теоретической основы Критерий устойчивости Найквиста.

Следствием более общей формулировки принципа аргумента является то, что при той же гипотезе, если грамм является аналитической функцией в Ω, то

Например, если ж это многочлен с нулями z1, ..., zп внутри простого контура C, и грамм(z) = zk, тогда

является симметричный многочлен степенной суммы корней ж.

Другое следствие - если мы вычислим комплексный интеграл:

для соответствующего выбора грамм и ж у нас есть Формула Абеля – Планы:

который выражает связь между дискретной суммой и ее интегралом.

Принцип обобщенного аргумента

Немедленное обобщение принципа аргументации. Предположим, что g аналитична в области . потом

где первое суммирование снова по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, и второе суммирование снова проводится по полюсам б из ж считал со своими заказами.

История

Согласно книге Фрэнк Смитис (Коши и создание теории сложных функций, Cambridge University Press, 1997, стр. 177), Огюстен-Луи Коши представил теорему, аналогичную приведенной выше, 27 ноября 1831 года во время добровольного изгнания в Турине (тогдашнюю столицу Королевства Пьемонт-Сардиния) из Франции. Однако, согласно этой книге, упоминались только нули, а не полюсы. Эта теорема Коши была опубликована только много лет спустя, в 1874 г., в рукописном виде, поэтому ее довольно трудно читать. Коши опубликовал статью с обсуждением нулей и полюсов в 1855 году, за два года до своей смерти.

Смотрите также

Рекомендации

  • Рудин, Вальтер (1986). Реальный и комплексный анализ (Международная серия по чистой и прикладной математике). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
  • Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Черчилль, Рюэль Вэнс; Браун, Джеймс Уорд (1989). Комплексные переменные и приложения. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-010905-6.
  • Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, C.R. Acad. Sci. Париж 158, 1979–1982 гг.

внешняя ссылка