WikiDer > Связанное градуированное кольцо

В математика, то связанное градуированное кольцо из звенеть р в отношении надлежащего идеальный я это градуированное кольцо:

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$.

Аналогично, если M левый р-модуль, затем связанный оцениваемый модуль это градуированный модуль над ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$:

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M = oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M}$.

Основные определения и свойства

Для кольца р и идеальный я, умножение в ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ определяется следующим образом: сначала рассмотрим однородные элементы ${ Displaystyle а ин я ^ {я} / я ^ {я + 1}}$ и ${ displaystyle b in I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$ и предположим ${ displaystyle a ' in I ^ {i}}$ является представителем а и ${ displaystyle b ' in I ^ {j}}$ является представителем б. Затем определите ${ displaystyle ab}$ быть классом эквивалентности ${ displaystyle a'b '}$ в ${ Displaystyle I ^ {я + j} / I ^ {я + j + 1}}$. Обратите внимание, что это четко определенный по модулю ${ displaystyle I ^ {я + j + 1}}$. Умножение неоднородных элементов определяется с помощью свойства распределенности.

Кольцо или модуль могут быть связаны с соответствующим градуированным кольцом или модулем через карта исходной формы. Позволять M быть р-модуль и я идеал р. Данный ${ displaystyle f in M}$, то исходная форма из ж в ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$, написано ${ Displaystyle mathrm {in} (е)}$, - класс эквивалентности ж в ${ displaystyle I ^ {m} M / I ^ {m + 1} M}$ куда м - максимальное целое число такое, что ${ displaystyle f in I ^ {m} M}$. Если ${ displaystyle f in I ^ {m} M}$ для каждого м, затем установите ${ Displaystyle mathrm {in} (е) = 0}$. Первоначальная карта формы - это всего лишь карта множеств, а не гомоморфизм. Для подмодуль ${ displaystyle N subset M}$, ${ displaystyle mathrm {in} (N)}$ определяется как подмодуль ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ создано ${ Displaystyle { mathrm {in} (е) | е в N }}$. Это может не совпадать с подмодулем ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ порожденные единственными начальными формами генераторов N.

Кольцо наследует некоторые «хорошие» свойства от связанного с ним градуированного кольца. Например, если р это нётерский местное кольцо, и ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ является область целостности, тогда р сам по себе является целостной областью.^[1]

gr факторного модуля

Позволять ${ displaystyle N subset M}$ быть левыми модулями над кольцом р и я идеал р. С

${ displaystyle {I ^ {n} (M / N) over I ^ {n + 1} (M / N)} simeq {I ^ {n} M + N over I ^ {n + 1} M + N} simeq {I ^ {n} M over I ^ {n} M cap (I ^ {n + 1} M + N)} = {I ^ {n} M over I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M}}$

(последнее равенство модульный закон), есть каноническая идентификация:^[2]

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M / N) = operatorname {gr} _ {I} M / operatorname {in} (N)}$

куда

${ displaystyle operatorname {in} (N) = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} {I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M over I ^ {n +1} M},}$

называется подмодуль, порожденный начальными формами элементов ${ displaystyle N}$.

Примеры

Позволять U быть универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над полем k; фильтруется по степени. В Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. подразумевает, что ${ displaystyle operatorname {gr} U}$ кольцо многочленов; на самом деле это координатное кольцо ${ Displaystyle к [{ mathfrak {g}} ^ {*}]}$.

Ассоциированная градуированная алгебра Алгебра Клиффорда внешняя алгебра; т.е. Алгебра Клиффорда вырождается для внешняя алгебра.

Обобщение на мультипликативные фильтрации

Связанная градуированная оценка также может быть определена более широко для мультипликативных нисходящие фильтрации из р (смотрите также фильтрованное кольцо.) Позволять F быть нисходящей цепочкой идеалов вида

${ Displaystyle R = I_ {0} supset I_ {1} supset I_ {2} supset dotsb}$

такой, что ${ displaystyle I_ {j} I_ {k} subset I_ {j + k}}$. Градуированное кольцо, связанное с этой фильтрацией, есть ${ displaystyle operatorname {gr} _ {F} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I_ {n} / I_ {n + 1}}$. Умножение и начальная форма карты определены, как указано выше.

Смотрите также

• Оценка (математика)
• Алгебра Риса

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8. МИСТЕР 1322960.
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования в области высшей математики. 8. Перевод с японского М. Рейда (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. МИСТЕР 1011461.
• Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, МИСТЕР 0389876