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In dem Mathematik ist ein Asymptote einer Funktion oder ihres Graphen eine Gerade oder a Kurve wobei der Graph dieser Funktion beliebig nahe kommt, wenn sich das Argument einem Grenzwert nähert (möglicherweise plus oder minus unendlich). Der Begriff leitet sich von der griechisch und bedeutet wörtlich nicht zusammenfallen (Übrigens schließt die obige Definition Zufall nicht aus). Asymptoten werden oft als grafische Hilfestellung verwendet. Ein Teilgebiet der Mathematik, das Asymptotiker, untersucht das Verhalten von Funktionen in der Nähe ${displaystyle pm infty }$ oder an einem Punkt, an dem die Funktion unbeschränkt ist.

Geraden als Asymptoten

1) Graph der Funktion ${Anzeigestil f(x)=1/x}$
${Anzeigestil f(x)}$ in Rot, Asymptoten Blau und Grün

Die wichtigsten Asymptoten sind gerade Linien, unterscheiden wir drei Fälle:

• Vertikale Asymptote: ${Anzeigestil x=a}$
• Horizontale Asymptote: ${Anzeigestil y=b}$
• Schräge oder schiefe Asymptote: ${Anzeigestil y=ax b}$

Beachten Sie, dass die horizontale Asymptote in dieser Definition ein Spezialfall der schrägen Asymptote ist, wobei ${Anzeigestil a=0.}$

Vertikale Asymptote

Vertikale Asymptoten treten auf, wenn die Kurve auf mindestens einer der beiden Seiten um den Punkt ${Anzeigestil x=a}$ zu unendlich geht. Wenn wir uns auf Asymptoten beschränken, um Funktionen, dann können wir diese Bedingung wie folgt formulieren: die Gerade ${Anzeigestil x=a}$ ist eine vertikale Asymptote von ${Anzeigestil f(x)}$ wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

${displaystyle lim _{xuparrow a}f(x)=pm infty ,{mbox{ und/oder }}lim _{xdownarrow a}f(x)=pm infty }$

Horizontale Asymptote

2) Graph der Funktion ${Anzeigestil f(x)=Arktan(x)}$
${Anzeigestil f(x)}$ in Rot, Asymptoten Blau und Grün

Eine horizontale Asymptote liegt vor, wenn die Kurve für zunehmend größere und/oder kleinere x-Werte annähernd parallel zur x-Achse verläuft. Wenn dies in der Höhe der Fall ist ${Anzeigestil y=b}$, dann ist dies die Gleichung der Asymptote. Auch dies kann mit Grenzen formaler festgehalten werden:

${displaystyle lim _{x o infty }f(x)=p,{mbox{ or }}lim _{x o -infty }f(x)=q}$

Im ersten Fall gibt es eine horizontale Asymptote ${Anzeigestil y=p}$ entlang des positiven ${Anzeigestil x}$-Achse, im zweiten Fall ist es ${Anzeigestil y=q}$ entlang der negativen x-Achse. Existieren beide Grenzwerte, hat die Funktion zwei Asymptoten, die im Fall coincide zusammenfallen ${Anzeigestil p=q}$.

Schräge Asymptote

Die schiefe Asymptote ist eine Gerade mit der allgemeinen Gleichung ${displaystyle y=ax b.}$ Formal ist diese Linie eine Asymptote von ${Anzeigestil f(x)}$ wenn es geschrieben werden kann als ${Anzeigestil ax b g(x)}$ bei welchem:

${displaystyle lim _{x o infty }g(x)=0,{mbox{ or }}lim _{x o -infty }g(x)=0}$

Ab ${Anzeigestil f(x)}$ können die Unbekannten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ direkt zu finden über:

${displaystyle lim _{x o pm infty }{frac {f(x)}{x}}=a,{mbox{ und }}lim _{x o pm infty }f(x)-ax=b}$

3) Funktionsgraph ${Anzeigestil f(x)=x 1/x}$
${Anzeigestil f(x)}$ in Rot, Asymptoten Blau und Grün

Beispiele

• Abbildung 1: ${Anzeigestil f(x)=1/x}$

Es gibt eine vertikale Asymptote ${Anzeigestil x=0}$, das ${Anzeigestil y}$-Achse (grün): da ist die Nenner 0 und ${Anzeigestil f(x)}$ geht links negativ unendlich und rechts positiv unendlich. Vor dem ${Anzeigestil x}$ gehe zu ${displaystyle pm infty }$ (unendlich) geht ${Anzeigestil f(x)}$ auf 0, also die ${Anzeigestil x}$-Achse (blau) mit Gleichung ${Anzeigestil y=0}$ ist eine horizontale Asymptote. Der Graph ist a orthogonale Hyperbel.

• Figur 2: ${Anzeigestil f(x)=Arktan(x)}$

Das Tangensfunktion hat vertikale Asymptoten bei ${displaystyle x=pm pi /2}$, immerhin geht diese Funktion dort bis ins Unendliche. Umgekehrt hat die Umkehrfunktion daher horizontale Asymptoten für ${displaystyle y=pm pi /2}$, diese sind jeweils grün und blau dargestellt.

• Figur 3: ${Anzeigestil f(x)=x 1/x}$

Aus dem gleichen Grund wie in Abbildung 1 finden wir die ${Anzeigestil y}$-axis gibt als vertikale Asymptote zurück. Außerdem finden wir jetzt auch:

${displaystyle a=lim _{x o pm infty }{frac {f(x)}{x}}=lim _{x o pm infty }1 {frac {1}{x^{2}}}=1}$

${displaystyle b=lim _{x o pm infty }f(x)-ax=lim _{x o pm infty }{frac {1}{x}}=0}$

so finden wir eine schiefe Asymptote mit Gleichung ${Anzeigestil y=x}$. In diesem Fall war es bereits möglich, ${Anzeigestil f(x)}$ siehe, da ist der Begriff ${Anzeigestil 1/x}$ wird auf 0 gehen für ${Anzeigestil x}$ gehe zu ${displaystyle pm infty ,}$ Verursachen ${Anzeigestil f(x)=x}$ Überreste.

Der Graph ist a Hyperbel, und damit symmetrisch in der Ursprungslinie mit einer Steigung von 67,5 Grad.

Anwendung: rationale Funktionen

Wenn die Funktion eine rationale Funktion ist (ein Bruchteil von Polynomen), können die Asymptoten systematisch gefunden werden. Betrachten wir zwei Polynome ${Anzeigestil P(x)}$ und ${Anzeigestil Q(x)}$, ohne gemeinsame Nullen. Wir können eine lange Division durchführen, sodass wir ein Polynom haben ${Anzeigestil S(x)}$ erhalten und ein Rest ${Anzeigestil R(x)}$ deren Abschluss geringer ist als der von ${Anzeigestil Q(x)}$. Also schreiben wir:

${Anzeigestil f(x)={frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x) {frac {R(x)}{Q(x)}}}$

Auf das Vorliegen von Asymptoten kann man dann folgende Schlussfolgerungen ziehen:

• Jeder Nullpunkt ${Anzeigestil x=a}$ von ${Anzeigestil Q(x)}$ liefert an diesem Punkt eine vertikale Asymptote
• Für den Fall, dass ${Anzeigestil S(x)}$ ein konstanter Wert ${displaystyle b}$ dann gibt es eine horizontale Asymptote ${Anzeigestil y=b.}$
• Wenn der Grad von ${Anzeigestil S(x)}$ gleich 1, dann ${Anzeigestil y=S(x)}$ eine schräge Asymptote.

Zufällige Kurve als Asymptote

4) Funktionsgraph ${displaystyle f(x)={sqrt {x}} 1/x}$
${Anzeigestil f(x)}$ in Rot, Asymptoten Blau und Grün

Wie in der Einleitung beschrieben, müssen Asymptoten nicht unbedingt Berechtigungen sein. Im Allgemeinen kann eine beliebige Kurve auch Asymptoten aufweisen, die selbst nicht linear sind. So ist ${Anzeigestil f(x)=x^{2} 1}$ eine asymptotische Kurve von ${Anzeigestil f(x)=x^{4}/(x^{2}-1).}$

Wir veranschaulichen dies an einem anderen Beispiel, betrachten wir die Funktion:

${displaystyle f(x)={sqrt {x}} {frac {1}{x}}}$

Durch die Quadratwurzel und den Nenner ${Anzeigestil x}$ ist ${displaystyle f}$ nur für positive Zahlen definiert. Schon seit:

${displaystyle lim _{x o infty }{frac {1}{x}}=0}$

Wille für das Verhalten von ${displaystyle f}$ für große Werte von ${Anzeigestil x}$ werden fast vollständig durch die Quadratwurzel bestimmt.

Man kann ${displaystyle g(x)={sqrt {x}}}$ sehe es als asymptotische Kurve von ${Anzeigestil f(x)}$, in Abbildung 4 blau markiert.

In Ergänzung, ${Anzeigestil f(x)}$ durch das Vorhandensein des Begriffs ${Anzeigestil 1/x,}$ wieder die ${Anzeigestil y}$Achse als vertikale Asymptote, grün markiert.

Bemerkungen

5) Graph einer Kurve, die ihre Asymptote unendlich oft schneidet

• Eine Kurve kann mehrere vertikale Asymptoten haben. Wenn wir Funktionen betrachten, sind sie nicht da kontinuierlich.
• Im Unendlichen kann man keine unterschiedlichen Asymptoten haben. Da eine Asymptote sowohl im positiven als auch im negativen Unendlichen auftreten kann, ist die Anzahl dieser Asymptoten auf zwei begrenzt. So ist es beispielsweise möglich, dass eine Kurve sowohl eine horizontale als auch eine schräge Asymptote hat, obwohl sie auf verschiedenen Seiten der y-Achse liegen müssen.
• Aus den gegebenen Beispielen könnte man meinen, dass eine Kurve nie ihre Asymptote hat schneidet, aber im Unendlichen berührt. Gerade bei Funktionen ist dies oft der Fall, muss es aber nicht. Abbildung 5 zeigt eine Kurve, die ihre Asymptote unendlich oft schneidet, sich ihr aber (gemäß Definition) beliebig nahe annähert.
• Man unterscheidet in der Mathematik andere Bedeutungen von asymptotisches Verhalten; das hängt vom Kontext ab. In verschiedenen Fällen genannt ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ asymptotische Kurven für ${Anzeigestil x}$ ins Unendliche gehen, wenn:

1. ${Anzeigestil f(x)-g(x)}$ geht auf 0.
2. ${Anzeigestil f(x)/g(x)}$ geht zum 1.
3. ${Anzeigestil f(x)/g(x)}$ hat eine andere endliche Grenze als 0.
4. ${Anzeigestil f(x)/g(x)}$ ist begrenzt, geht aber nicht auf 0.