WikiDer > Асимптотический анализ

В математический анализ, асимптотический анализ, также известен как асимптотика, это метод описания ограничение поведение.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции ж(п) так как п становится очень большим. Если ж(п) = п² + 3п, тогда как п становится очень большим, срок 3п становится незначительным по сравнению с п². Функция ж(п) считается "асимптотически эквивалентный к п², так как п → ∞". Это часто обозначается как ж(п) ~ п², который читается как "ж(п) асимптотичен п²".

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах. Позволять π (Икс) обозначить функция подсчета простых чисел (что не имеет прямого отношения к константе Пи), т.е. π (Икс) это количество простые числа которые меньше или равны Икс. Тогда теорема утверждает, что

${ displaystyle pi (x) sim { frac {x} { ln x}}.}$

Определение

Формально данные функции ж(Икс) и г(Икс), определим бинарное отношение

${ Displaystyle е (х) сим г (х) quad ({ text {as}} х к infty)}$

если и только если (де Брюйн 1981, §1.4)

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}$

Символ ~ это тильда. Отношение является отношение эквивалентности по набору функций Икс; функции ж и г как говорят асимптотически эквивалентный. В домен из ж и г может быть любым набором, для которого определен лимит: например, действительные числа, комплексные числа, положительные целые числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, Икс → 0, Икс ↓ 0, |Икс| → 0. Способ перехода к пределу часто не указывается явно, если это ясно из контекста.

Хотя приведенное выше определение широко используется в литературе, это проблематично, если г(Икс) бесконечно часто равен нулю при Икс переходит к предельному значению. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение в маленькая нотация, в том, что ж ~ г если и только если

${ Displaystyle f (x) = g (x) (1 + o (x)).}$

Это определение эквивалентно предыдущему, если г(Икс) не ноль в некоторых окрестности предельного значения.^[1][2]

Свойства

Если ${ displaystyle f sim g}$ и ${ displaystyle a sim b}$, то при некоторых мягких условиях имеет место следующее.

• ${ displaystyle f ^ {r} sim g ^ {r}}$, для каждого реального р
• ${ Displaystyle журнал (е) сим журнал (г)}$
• ${ displaystyle f times a sim g times b}$
• ${ displaystyle f / a sim g / b}$

Такие свойства позволяют свободно обмениваться асимптотически эквивалентными функциями во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

• Факториал

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n}}$

-это Приближение Стирлинга

• Функция разделения

Для положительного целого числа п, статистическая сумма, п(п), дает количество способов записи целого числа п как сумму положительных целых чисел, где порядок слагаемых не учитывается.

${ displaystyle p (n) sim { frac {1} {4n { sqrt {3}}}} e ^ { pi { sqrt { frac {2n} {3}}}}}$

• Функция Эйри

Функция Эйри, Ai (Икс), является решением дифференциального уравненияу '' − ху = 0; он имеет множество приложений в физике.

${ displaystyle operatorname {Ai} (x) sim { frac {e ^ {- { frac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}}}} {2 { sqrt { pi}} x ^ {1/4}}}}$

• Функции Ганкеля

${ displaystyle { begin {align} H _ { alpha} ^ {(1)} (z) & sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {i left (z - { frac {2 pi alpha - pi} {4}} right)} H _ { alpha} ^ {(2)} (z) & sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {- i left (z - { frac {2 pi alpha - pi} {4}} right)} end {align}}}$

строительство

Общее

Рассматривать:

${ Displaystyle ч (х) = е (х) (1-F (х)) + г (х) F (х)}$

где ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle g (x)}$ имеют реальную ценность аналитические функции, и ${ Displaystyle F (х)}$ это Кумулятивная функция распределения.

потом ${ Displaystyle ч (х)}$ асимптотичен ${ displaystyle f (x)}$ так как ${ Displaystyle х к (- infty)}$ и асимптотика к ${ displaystyle g (x)}$ так как ${ Displaystyle х к (+ infty)}$.

Асимптотика двух разных многочленов

Предположим, нам нужна вещественная функция, асимптотическая ${ Displaystyle (а_ {0} + а_ {1} х)}$ так как ${ Displaystyle х к (- infty)}$ и асимптотична ${ displaystyle (b_ {0} + b_ {1} x)}$ так как ${ Displaystyle х к (+ infty)}$. потом

${ Displaystyle h (x) = (a_ {0} + a_ {1} x) (1-F (x)) + (b_ {0} + b_ {1} x) F (x)}$

сделаю это.

Асимптотическое разложение

An асимптотическое разложение функции ж(Икс) на практике является выражением этой функции в терминах серии, то частичные суммы из которых не обязательно сходятся, но такие, что взятие любой начальной частичной суммы дает асимптотическую формулу для ж. Идея состоит в том, что следующие друг за другом члены дают все более точное описание порядка роста ж.

В символах это означает, что у нас есть ${ displaystyle f sim g_ {1},}$ но также ${ displaystyle f-g_ {1} sim g_ {2}}$ и ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-1} sim g_ {k}}$ для каждого фиксированного k. С учетом определения ${ displaystyle sim}$ символ, последнее уравнение означает ${ Displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k}) = о (g_ {k})}$ в небольшое обозначение, т.е. ${ displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k})}$ намного меньше, чем ${ displaystyle g_ {k}.}$

Соотношение ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-1} sim g_ {k}}$ обретает полное значение, если ${ displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$ для всех k, что означает ${ displaystyle g_ {k}}$ для мужчины асимптотическая шкала. В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно записывать ${ displaystyle f sim g_ {1} + cdots + g_ {k}}$ для обозначения утверждения ${ displaystyle f- (g_ {1} + cdots + g_ {k}) = o (g_ {k}).}$ Однако следует быть осторожным, чтобы это не стандартное использование ${ displaystyle sim}$ символ, и что он не соответствует определению, данному в § Определение.

В нынешней ситуации это соотношение ${ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$ фактически следует из объединения шагов k и k−1; путем вычитания ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-2} = g_ {k-1} + o (g_ {k-1})}$ от ${ displaystyle f-g_ {1} - cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k} + o (g_ {k}),}$ один получает ${ displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$ т.е. ${ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение, а добавление дополнительных членов снизит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений

• Гамма-функция

${ displaystyle { frac {e ^ {x}} {x ^ {x} { sqrt {2 pi x}}}} Gamma (x + 1) sim 1 + { frac {1} {12x }} + { frac {1} {288x ^ {2}}} - { frac {139} {51840x ^ {3}}} - cdots (x to infty)}$

• Экспоненциальный интеграл

${ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} (от x до infty)}$

• Функция ошибки

${ displaystyle { sqrt { pi}} xe ^ {x ^ {2}} { rm {erfc}} (x) sim 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {n! (2x ^ {2}) ^ {n}}} (x to infty)}$

где (2п − 1)!! это двойной факториал.

Пример работы

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет принимать значения за пределами области сходимости. Например, мы можем начать с обычной серии

${ displaystyle { frac {1} {1-w}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} w ^ {n}}$

Выражение слева справедливо на всей комплексной плоскости. ${ Displaystyle ш neq 1}$, а правая часть сходится только при ${ Displaystyle | ш | <1}$. Умножение на ${ displaystyle e ^ {- w / t}}$ и интегрирование обеих сторон дает

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- { frac {w} {t}}}} {1-w}} , dw = sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n + 1} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- u} u ^ {n} , du}$

Интеграл в левой части можно выразить через экспоненциальный интеграл. Интеграл в правой части после замены ${ Displaystyle и = ш / т}$, может быть признан гамма-функция. Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение

${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {t}}} operatorname {Ei} left ({ frac {1} {t}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} п! ; t ^ {n + 1}}$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении т. Однако, сохраняя т small, и усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению ${ displaystyle operatorname {Ei} (1 / t)}$. Подстановка ${ Displaystyle х = -1 / т}$ и отмечая, что ${ displaystyle operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.

Асимптотическое распределение

В математическая статистика, асимптотическое распределение - это гипотетическое распределение, которое в некотором смысле является «ограничивающим» распределением последовательности распределений. Распределение - это упорядоченный набор случайных величин. Z_я для я = 1, ..., п, для некоторого положительного целого числа п. Асимптотическое распределение позволяет я без ограничений, то есть п бесконечно.

Частный случай асимптотического распределения - это когда поздние записи обращаются к нулю, то есть Z_я перейти к 0 как я уходит в бесконечность. Некоторые примеры «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотический функция, которая чисто приближается к постоянному значению ( асимптота) как независимая переменная стремится к бесконечности; "чистый" в этом смысле означает, что для любой желаемой близости эпсилон существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

An асимптота прямая линия, к которой приближается кривая, но никогда не пересекает и не пересекает ее. Неформально можно говорить о кривой, пересекающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении ${ displaystyle y = { frac {1} {x}},}$ у становится сколь угодно малой по величине при Икс увеличивается.

Приложения

Асимптотический анализ используется в нескольких математические науки. В статистика, асимптотическая теория дает предельные приближения распределение вероятностей из статистика выборки, такой как отношение правдоподобия статистика и ожидаемое значение из отклонение. Однако асимптотическая теория не предоставляет метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические оценки даются методами теория приближения.

Примеры приложений следующие.

• В Прикладная математика, асимптотический анализ используется для построения численные методы приблизить уравнение решения.
• В математическая статистика и теория вероятности, асимптотики используются при анализе долгосрочного или большой выборки поведения случайных величин и оценок.
• в Информатика в анализ алгоритмов, учитывая производительность алгоритмов.
• поведение физические системы, например, статистическая механика.
• в анализ аварии при определении причины ДТП посредством моделирования количества ДТП с большим количеством ДТП за заданное время и пространство.

Асимптотический анализ - ключевой инструмент для изучения обычный и частичный дифференциальные уравнения, возникающие в математическое моделирование явлений реального мира.^[3] Наглядным примером является вывод уравнения пограничного слоя от полного Уравнения Навье-Стокса регулирующий поток жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение ведется по малому параметру ε: в случае пограничного слоя это безразмерный отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу задачи. Действительно, применение асимптотического анализа в математическом моделировании часто^[3] сосредоточиться вокруг безразмерного параметра, который был показан или предположительно мал благодаря рассмотрению масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают при приближении некоторых интегралов (Метод Лапласа, метод перевала, способ наискорейшего спуска) или в приближении вероятностных распределений (Серия Эджворта). В Графики Фейнмана в квантовая теория поля являются еще одним примером асимптотических разложений, которые часто не сходятся.

Смотрите также

Заметки

использованная литература

• Бальзер, В. (1994), От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940
• де Брёйн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы анализа., Dover Publications, ISBN 9780486642215
• Estrada, R .; Канвал, Р. П. (2002), Распределительный подход к асимптотике, Биркхойзер, ISBN 9780817681302
• Миллер, П. Д. (2006), Прикладной асимптотический анализ, Американское математическое общество, ISBN 9780821840788
• Мюррей, Дж. Д. (1984), Асимптотический анализ, Спрингер, ISBN 9781461211228
• Paris, R. B .; Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса., Издательство Кембриджского университета

внешние ссылки

• Асимптотический анализ - главная страница журнала, которую издает IOS Press
• Статья об анализе временных рядов с использованием асимптотического распределения