WikiDer > Идеал увеличения

Augmentation ideal

В алгебра, идеальное увеличение является идеальный что может быть определено в любом групповое кольцо.

Если грамм это группа и р а коммутативное кольцо, Существует гомоморфизм колец , называется карта аугментации, из группового кольца к , определяемый взятием (конечного[Примечание 1]) сумма к (Здесь и .) Говоря менее формально, для любого элемента , для любого элемента , и затем продолжается до гомоморфизма р-модули очевидным образом.

В идеальное увеличение А это ядро из и поэтому двусторонний идеал в р[грамм].

А порождено различиями элементов группы. Эквивалентно, он также генерируется , что является основой в качестве бесплатного р-модуль.

За р и грамм как и выше, групповое кольцо р[грамм] является примером дополненный р-алгебра. Такая алгебра снабжена гомоморфизмом колец в р. Ядро этого гомоморфизма - идеал дополнения алгебры.

Идеал увеличения играет основную роль в групповые когомологии, среди других приложений.

Примеры коэффициентов идеала увеличения

  • Позволять грамм группа и групповое кольцо над целыми числами. Позволять я обозначают идеал увеличения . Тогда частное я/я2 изоморфна абелианизации грамм, определяемый как частное грамм своей коммутаторной подгруппой.
  • Сложное представление V группы грамм это - модуль. Коинварианты V затем можно описать как частное от V к IV, куда я идеал аугментации в .
  • Еще одним классом примеров идеального увеличения может быть ядро из графство любой Алгебра Хопфа.

Примечания

  1. ^ При строительстве р[грамм], мы ограничиваем р[грамм] только к конечным (формальным) суммам

Рекомендации

  • Д. Л. Джонсон (1990). Презентации групп. Тексты студентов Лондонского математического общества. 15. Издательство Кембриджского университета. С. 149–150. ISBN 0-521-37203-8.
  • Даммит и Фут, Абстрактная алгебра