WikiDer > Аксиома глобального выбора

В математикаособенно в теории классов, то аксиома глобального выбора это более сильный вариант аксиома выбора это относится к правильные классы из наборы а также наборы наборов. Неформально он гласит, что можно одновременно выбрать элемент из каждого непустой набор.

Заявление

Аксиома глобального выбора утверждает, что существует функция глобального выбора τ, имея в виду такую ​​функцию, что для любого непустого множества z, τ (z) является элементом z.

Аксиома глобального выбора не может быть сформулирована прямо на языке ZFC (Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора), поскольку функция выбора τ является собственным классом, и в ZFC нельзя проводить количественную оценку по классам. Это можно сформулировать, добавив в язык ZFC новый символ функции τ, обладающий тем свойством, что τ является функцией глобального выбора. Это консервативное расширение ZFC: каждое доказуемое утверждение этой расширенной теории, которое может быть сформулировано на языке ZFC, уже доказуемо в ZFC (Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, стр.72). С другой стороны, Гёдель показал, что с учетом аксиома конструктивности можно записать явную (хотя и несколько сложную) функцию выбора τ на языке ZFC, так что в некотором смысле аксиома конструктивности подразумевает глобальный выбор (фактически (ZFC доказывает, что) в языке, расширенном символом τ унарной Из аксиомы конструктивности следует, что если τ - явно определимая функция, то эта функция τ является функцией глобального выбора. свидетель).

На языке теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и Теория множеств Морса – Келли, аксиома глобального выбора может быть сформулирована прямо (Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, стр.133), и эквивалентен различным другим утверждениям:

• Каждый класс непустых множеств имеет функция выбора.
• V {∅} имеет функцию выбора (где V это класс всех комплектов).
• Существует хороший порядок из V.
• Существует биекция между V и класс всех порядковые номера.

В теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя глобальный выбор не добавляет никаких последствий в отношении наборы (не собственные классы) за пределами того, что можно было бы вывести из обычной аксиомы выбора.

Глобальный выбор - следствие аксиома ограничения размера.

Рекомендации

• Френкель, Абрахам А.; Бар-Гилель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств, Исследования по логике и основам математики, 67 (Второе исправленное издание), Амстердам-Лондон: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0720422702, МИСТЕР 0345816
• Jech, Thomas, 2003. Теория множества: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Джон Л. Келли; Общая топология; ISBN 0-387-90125-6