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Axioma
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EIN Axiom (oder Postulat) ist in der Mathematik und der Logik, schon seit Euklid und Aristoteles, einer nicht bewährt, aber als Basis akzeptiert Behauptung. Ein Axiom dient als Grundlage für den Beweis anderer mathematischer Aussagen oder Thesen. Ein Axiom ist Teil von a deduktives System. In dem mathematische Logik ist ein deduktives System namens a Theorie. Bei der Formulierung einer Theorie gelten folgende Einschränkungen:

  • Axiome dürfen sich nicht widersprechen Widerspruch sein;
  • ein Axiom darf nicht von anderen Axiomen abgeleitet werden.

Widersprechen sich Axiome, dann ist eine Theorie inkonsistent. Ein aus anderen Axiomen ableitbares Axiom ist kein Axiom, sondern ein bewiesenes Gestell. EIN Sammlung von Axiomen ist daher die kleinstmögliche Menge von Annahmen, die eine Theorie möglich machen.

Das Wort kommt vom griechischen axíōma (ἀξίωμα) „das, was als würdig oder geeignet angesehen wird“ oder „das, was sich als offensichtlich empfiehlt“.

Ein Beispiel für eine Theorie

Die Arithmetik basierend auf dem Axiome von Peano ist ein Beispiel für eine Theorie. Diese Theorie definiert die natürliche Zahlen einschließlich der folgenden fünf Axiome:

  • Null ist eine Zahl.
  • Jede Zahl hat einen Nachfolger und dieser Nachfolger ist auch eine Zahl.
  • Null ist nicht der Nachfolger einer Zahl.
  • Unterschiedliche Nummern haben unterschiedliche Nachfolger.
  • Wenn Null eine bestimmte Eigenschaft hat und wenn die Annahme, dass eine Zahl diese Eigenschaft hat, bewiesen ist, dass ihr Nachfolger dies auch tut, dann hat jede Zahl diese Eigenschaft.

Auch der Physik hat Postulate, zum Beispiel das der Lichtgeschwindigkeit, die im Vakuum für alle sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegenden Beobachter gleich ist.

Eigenschaften

Zwei wichtige Eigenschaften einer Theorie sind Konsistenz und Ganzheit. Eine Theorie ist konsistent wenn sich innerhalb der Theorie kein Widerspruch ableiten lässt. Eine Theorie ist völlig wenn jeder wahre Satz, der in der formalen Sprache der Theorie formuliert ist, innerhalb dieser Theorie abgeleitet (bewiesen) werden kann.

Peanos oben erwähnte arithmetische Theorie ist konsistent, aber nicht völlig - Unvollständigkeitssatz von Gödel beweist, dass jede konsistente Theorie, die zumindest Peanos Arithmetik beinhaltet, einen wahren Satz enthält, der innerhalb dieser Theorie nicht beweisbar ist. Diese Theorie ist daher unvollständig.

Bekannte Axiome

Synonyme

  • Prinzip
  • Grundregel
  • Grundvoraussetzung
  • Postulat

Verwandte Begriffe

EIN Voraussetzung ist ebenfalls eine wahre Aussage, die jedoch stark vom gegebenen Kontext abhängt.

Siehe auch