WikiDer > Битти последовательность

Beatty sequence

В математика, а Битти последовательность (или же однородная последовательность Битти) это последовательность из целые числа найдено, взяв этаж положительных кратные положительного иррациональный номер. Последовательности Битти названы в честь Сэмюэл Битти, писавший о них в 1926 году.

Теорема Рэлея, названный в честь Лорд Рэйли, заявляет, что дополнять последовательности Битти, состоящей из положительных целых чисел, не входящих в последовательность, сама по себе является последовательностью Битти, генерируемой другим иррациональным числом.

Последовательности Битти также можно использовать для создания Штурмские слова.

Определение

Положительное иррациональное число генерирует последовательность Битти

Если тогда также положительное иррациональное число. Эти два числа естественным образом удовлетворяют уравнению . Две последовательности Битти, которые они генерируют,

и
,

сформировать пара дополнительных последовательностей Битти. Здесь «дополнительный» означает, что каждое положительное целое число принадлежит ровно одной из этих двух последовательностей.

Примеры

Когда р это Золотая середина, у нас есть s = р + 1. В этом случае последовательность , известный как нижняя последовательность Wythoff, является

и дополнительная последовательность , то верхняя последовательность Wythoff, является

Эти последовательности определяют оптимальную стратегию для Игра Wythoff, и используются в определении Массив Wythoff

В качестве другого примера для р = 2, у нас есть s = 2 + 2. В этом случае последовательности

  • 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (последовательность A001951 в OEIS) и
  • 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (последовательность A001952 в OEIS).

И для р = π и s = π / (π - 1) последовательности равны

  • 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (последовательность A022844 в OEIS) и
  • 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (последовательность A054386 в OEIS).

Любое число в первой последовательности отсутствует во второй, и наоборот.

История

Последовательности Битти получили свое название от проблемы, поставленной в Американский математический ежемесячный журнал к Сэмюэл Битти в 1926 г.[1][2] Вероятно, это одна из наиболее часто упоминаемых проблем, когда-либо возникавших в Ежемесячно. Однако еще раньше, в 1894 г., такие последовательности кратко упоминал Джон У. Стратт (третий барон Рэлей) во втором издании его книги Теория звука.[3]

Теорема Рэлея

В Теорема Рэлея (также известный как Теорема Битти) утверждает, что с учетом иррационального числа Существует так что последовательности Битти и раздел то набор положительных целых чисел: каждое положительное целое число принадлежит ровно одной из двух последовательностей.[3]

Первое доказательство

Данный позволять . Мы должны показать, что каждое натуральное число лежит в одной и только одной из двух последовательностей и . Мы сделаем это, учитывая порядковые позиции, занимаемые всеми дробями и когда они перечислены вместе в порядке неубывания для положительных целых чисел j и k.

Чтобы увидеть, что никакие два числа не могут занимать одну и ту же позицию (как одно число), предположим противное, что для некоторых j и k. потом = , а Рациональное число, но также, не рациональное число. Следовательно, никакие два числа не занимают одинаковые позиции.

Для любого , Существуют j числа и числа , так что положение в списке . Уравнение подразумевает

Точно так же позиция в списке .

Вывод: каждое положительное целое число (то есть каждая позиция в списке) имеет вид или формы , но не то и другое одновременно. Верно и обратное утверждение: если п и q два действительные числа так что каждое положительное целое число встречается ровно один раз в приведенном выше списке, то п и q иррациональны, и сумма их обратных величин равна 1.

Второе доказательство

Столкновения: Предположим, что вопреки теореме есть целые числа j > 0 и k и м такой, что

Это эквивалентно неравенствам

Для ненулевого j, иррациональность р и s несовместимо с равенством, поэтому

которые приводят к

Сложив их вместе и используя гипотезу, мы получаем

что невозможно (нельзя иметь целое число между двумя соседними целыми числами). Таким образом, предположение должно быть ложным.

Анти-столкновения: Предположим, что вопреки теореме есть целые числа j > 0 и k и м такой, что

С j +1 не равно нулю и р и s иррациональны, мы можем исключить равенство, поэтому

Тогда получаем

Добавляя соответствующие неравенства, получаем

что тоже невозможно. Таким образом, предположение неверно.

Характеристики

если и только если

куда обозначает дробную часть т.е. .

Доказательство:

Более того, .

Доказательство:

Связь со штурмовскими последовательностями

В первая разница

последовательности Битти, связанной с иррациональным числом это характеристика Штурмское слово по алфавиту .

Обобщения

Если немного изменить теорему Рэлея, ее можно обобщить на положительные действительные числа (не обязательно иррациональные), а также на отрицательные целые числа: если положительные действительные числа и удовлетворить , последовательности и образуют разбиение целых чисел.

В Теорема Ламбека – Мозера. обобщает теорему Рэлея и показывает, что более общие пары последовательностей, определенные из целочисленной функции и ее обратной функции, обладают одинаковым свойством разбиения целых чисел.

Успенского Теорема утверждает, что если положительные действительные числа такие, что содержит все положительные целые числа ровно один раз, то То есть не существует эквивалента теоремы Рэлея для трех или более последовательностей Битти.[4][5]

Рекомендации

  1. ^ Битти, Сэмюэл (1926). «Проблема 3173». Американский математический ежемесячный журнал. 33 (3): 159. Дои:10.2307/2300153.
  2. ^ С. Битти; А. Островский; Дж. Хислоп; А. К. Эйткен (1927). «Решения проблемы 3173». Американский математический ежемесячный журнал. 34 (3): 159–160. Дои:10.2307/2298716. JSTOR 2298716.
  3. ^ а б Джон Уильям Стратт, третий барон Рэлей (1894). Теория звука. 1 (Второе изд.). Макмиллан. п. 123.
  4. ^ Успенский Ю. В. О проблеме, вытекающей из теории одной игры. Амер. Математика. Ежемесячно 34 (1927), стр. 516–521.
  5. ^ Р. Л. Грэм, К теореме Успенского, Амер. Математика. Ежемесячно 70 (1963), стр. 407–409.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка