WikiDer > Ansatz zu pi

Dieser Artikel behandelt zwei geometrische Treffen Annäherungen von ${Anzeigestil pi}$.

Anfahrt nach Kochanski

Adam Adamandy Kochanski (1631–1700)^[1] war ein Polieren Mathematiker, Uhrmacher und Physiker, der mit dem Hof ​​von Jan III. Sobieski, König von Polen von 1674 bis 1696. Kochanski veröffentlichte 1685 sein berühmtestes Werk, Beobachtungen Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae, in dem es um die Quadratur des Kreises. Dieser Artikel enthält auch eine Konstruktion, mit der die Zahl ${Anzeigestil pi}$ angefahren wird.^[2]

Auf der Mittellinie ${Anzeigestil OB}$ eines Kreises mit Mittelpunkt ${Anzeigestil M}$ und Strahl ${Anzeigestil 1}$ auf der Senkrechten liegen in ${Anzeigestil O}$ und ${Anzeigestil B}$ auf dieser Mittellinie, beide auf derselben Seite, die Punkte ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil C}$, bei welchem ${Displaystil OA=3}$ und ${Anzeigewinkel BMC={{30}^{ ext{o}}}}$.Jetzt ist: ${displaystyle BC= an({{30}^{ ext{o}}})={ frac {1}{3}}surd 3}$. Außerdem ist der Punkt ${Anzeigestil D}$ die senkrechte Projektion von ${Anzeigestil C}$ an der Leitung ${Anzeigestil OA}$.
Dann im rechtwinkligen Dreieck ${Displaystil-ACD}$:

${displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}} C{{D}^{2}}={{(3-{ frac {1}{3}}surd 3 )}^{2}} 4=13{ frac {1}{3}}-2surd 3}$

So dass:

${displaystyle AC={ frac {1}{3}}{sqrt {120-18surd 3}}ca. 3,141533}$

Kochanskis Ansatz ${displaystyle p}$ von ${Anzeigestil pi}$ ist (in 6 Dezimalstellen): ${Anzeigestil p=3{,}141533}$.

Die Differenz dieses Wertes mit dem genauen Wert von ${Anzeigestil pi}$ (= die Länge des Halbkreises) ist ${Anzeigestil 0{,}000059}$. Wenn der Radius des Kreises ${displaystyle 1,{ ext{m}}}$ ist, dann ist der Fehler in der Näherung von is ${Anzeigestil pi}$ So ${displaystyle 0{,}06,{ ext{mm}}}$.

Annäherung an Mascheroni

Lorenzo Mascheronic (1750 – 1800) war ein Italienisch Mathematiker und Physiker. 1797 veröffentlichte er sein Buch Geometrie von Compasso^[3], in dem er beweist, dass jedes sogenannte Kompass- und Linealkonstruktionnur mit Kompass durchgeführt werden kann. In diesem Buch gibt er auch eine Konstruktion an, mit der die Zahl ${Anzeigestil pi}$ angefahren wird.

Auf dem Kreis mit Mittellinie ${displaystyle-Anzeige}$, Mittelpunkt ${Anzeigestil M}$ und Strahl ${Anzeigestil 1}$, sind die Punkte ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$ so dass ${Anzeigestil AB=BC=1 (=CD)}$. Der Punkt ${Anzeigestil E}$ liegt auf der Senkrechten von ${displaystyle-Anzeige}$ so dass ${Displaystil AE=AC}$. Der Punkt ${Anzeigestil F}$ ist der Schnittpunkt des Kreises ${Anzeigestil (B, BE)}$ mit dem 'Grundkreis'.
Im rechtwinkligen Dreieck ${Displaystil-ACD}$ ist jetzt ${displaystyle an({{60}^{ ext{o}}})=AC=surd 3}$, so dass im rechtwinkligen Dreieck ${displaystyle MAE}$ gilt:

${displaystyle ME={sqrt {A{{E}^{2}}-A{{M}^{2}}}}={sqrt {3-1}}=surd 2}$

Ist ${Anzeigestil G}$ der Schnittpunkt von ${displaystyle BC}$ und ${displaystyle ME}$, dann im Dreieck ${displaystyle BEG}$:

${displaystyle BE={sqrt {B{{G}^{2}} G{{E}^{2}}}}={sqrt {{ frac {1}{4}} {{(surd 2-{ frac {1}{2}}surd 3)}^{2}}}}={sqrt {3-surd 6}}}$

So ist ${displaystyle BF={sqrt {3-surd 6}}}$. Vor dem ${Displaystil-AF}$ im gleichschenkligen Dreieck ${displaystyle MAF}$ ist dann:

${displaystyle AF=2cdot sin { frac {1}{2}}(AMF)=2cdot sin({{30}^{ ext{o}}} arcsin({ frac {1}{2}}BF))}$

So dass: ${displaystyle AF=2cdot sin({{30}^{ ext{o}}} arcsin({ frac {1}{2}}{sqrt {3-surd 6}})))}$. Und ${Displaystil 2cdot AFca. 3{,}142399}$.

Mascharonis Ansatz ${displaystyle p}$ von ${Anzeigestil pi}$ ist (in 6 Dezimalstellen): ${Anzeigestil p=3{,}142399}$.

Dieser Wert unterscheidet sich ${Anzeigestil 0{,}000806}$ mit dem genauen Wert von ${Anzeigestil pi}$ (= die Länge des Halbkreises). Wenn der Radius des Kreises gleich ist ${displaystyle 1,{ ext{m}}}$, dann ist der Fehler in der Näherung von ${Anzeigestil pi}$ damit ${displaystyle 0.8,{ ext{mm}}}$.

Siehe auch

• Satz von Mohr-Mascheroni
• Transzendente Zahl
• Näherung einer Menge

Externer Link

• (und) Eric W. Weisstein:Pi-Annäherungen. Auf: MathWorld--Eine Wolfram-Webressource.

Quellen

• P. Molenbroek (1924):Lehrbuch der ebenen Geometrie. Groningen: P. Noordhoff N. V., 8. Auflage (1939); pp. 389-403.
• L. Berggren, J. & P. ​​Borwein (2003):Pi, ein Quellbuch. New York: Springer-Verlag, 3. Auflage; s. 294, s. 297.

Nüsse