WikiDer > Теорема Берри – Эссеена

Berry–Esseen theorem

В теория вероятности, то Центральная предельная теорема заявляет, что при определенных обстоятельствах распределение вероятностей масштабных среднее значение случайной выборки сходится к нормальное распределение при увеличении размера выборки до бесконечности. При более сильных предположениях Теорема Берри – Эссеена, или же Неравенство Берри – Эссеена, дает более количественный результат, потому что он также определяет скорость, с которой имеет место эта сходимость, давая оценку максимальной ошибки приближение между нормальным распределением и истинным распределением масштабированного выборочного среднего. Приближение измеряется Расстояние Колмогорова – Смирнова. В случае независимые образцы, скорость сходимости п−1/2, куда п - размер выборки, а константа оценивается через в третьих абсолютный нормализованные моменты.

Формулировка теоремы

Формулировки теоремы различаются, так как она была независимо открыта двумя математики, Эндрю С. Берри (в 1941 г.) и Карл-Густав Эссеен (1942), которые затем вместе с другими авторами неоднократно уточняли его в последующие десятилетия.

Одинаково распределенные слагаемые

Одна из версий, несколько жертвуя общностью ради ясности, заключается в следующем:

Существует положительный постоянный C так что если Икс1, Икс2, ..., находятся i.i.d. случайные переменные с E(Икс1) = 0, E (Икс12) = σ2 > 0 и E (|Икс1|3) = ρ <∞,[примечание 1] и если мы определим
в выборочное среднее, с Fп в кумулятивная функция распределения из
и Φ - кумулятивная функция распределения стандартное нормальное распределение, то для всех Икс и п,
Иллюстрация различия кумулятивных функций распределения, упомянутых в теореме.

То есть: учитывая последовательность независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждый из которых иметь в виду нулевой и положительный отклонение, если дополнительно третий абсолют момент конечно, то кумулятивные функции распределения из стандартизированный среднее выборочное и стандартное нормальное распределение различаются (по вертикали, на графике) не более чем на заданную величину. Обратите внимание, что ошибка аппроксимации для всех п (и, следовательно, предельная скорость сходимости для неопределенных п достаточно большой) ограничен порядок из п−1/2.

Расчетные значения константы C значительно снизились с годами, с первоначального значения 7,59 на Эссеен (1942), до 0,7882 на ван Бик (1972), затем 0.7655 по Шиганов (1986), затем 0.7056 по Шевцова (2007), затем 0.7005 по Шевцова (2008), затем 0.5894 по Тюрин (2009), затем 0.5129 по Королев и Шевцова (2010а), затем 0.4785 по Тюрин (2010). Подробный обзор можно найти в статьях. Королев и Шевцова (2010а) и Королев и Шевцова (2010b). Лучшая оценка на 2012 год, C <0,4748, следует из неравенства

из-за Шевцова (2011), поскольку σ3 ≤ ρ и 0,33554 · 1,415 <0,4748. Однако если ρ ≥ 1.286σ3, то оценка

что также доказано в Шевцова (2011), дает еще более точную верхнюю оценку.

Эссеен (1956) доказал, что константа также удовлетворяет нижней оценке

Неоднозначно распределенные слагаемые

Позволять Икс1, Икс2, ..., быть независимыми случайными величинами с E(Икся) = 0, E (Икся2) = σя2 > 0 и E (|Икся|3) = ρя <∞. Кроме того, пусть
быть нормализованным п-я частичная сумма. Обозначить Fп в cdf из Sп, а Φ cdf стандартное нормальное распределение. Для удобства обозначим
В 1941 г. Эндрю С. Берри доказал, что для всех п существует абсолютная постоянная C1 такой, что
куда
Самостоятельно в 1942 г. Карл-Густав Эссеен доказал, что для всех п существует абсолютная постоянная C0 такой, что
куда

Легко убедиться, что ψ0≤ψ1. В связи с этим неравенство (3) принято называть неравенством Берри – Эссеена, а величина ψ0 называется дробью Ляпунова третьего порядка. Более того, в случае, когда слагаемые Икс1, ..., Иксп иметь идентичные распределения

и, таким образом, оценки, установленные неравенствами (1), (2) и (3), совпадают без учета константы.

Касательно C0, очевидно, нижняя оценка, установленная Эссеен (1956) остается в силе:

Верхние оценки для C0 были впоследствии снижены с первоначальной оценки 7,59 из-за Эссеен (1942) до (учитывая только последние результаты) 0,9051 из-за Золотарев (1967), 0,7975 за счет ван Бик (1972), 0,7915 за счет Шиганов (1986), 0,6379 и 0,5606 из-за Тюрин (2009) и Тюрин (2010). По состоянию на 2011 г. лучшая оценка 0,5600, полученная Шевцова (2010).

Многомерная версия

Как и в случае с многомерная центральная предельная теорема, существует многомерная версия теоремы Берри – Эссеена.[1][2]

Позволять быть независимым -значные случайные векторы, каждый из которых имеет нулевое среднее значение. Написать и предполагать обратимо. Позволять быть -мерный гауссовский с тем же средним и ковариационной матрицей, что и . Тогда для всех выпуклых множеств ,

,

куда - универсальная постоянная и (третья степень L2 норма).

Зависимость от предполагается оптимальным, но, возможно, в этом нет необходимости.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Поскольку случайные величины распределены одинаково, Икс2, Икс3, ... у всех одинаковые моменты в качестве Икс1.

Рекомендации

  • Берри, Эндрю С. (1941). «Точность гауссовского приближения к сумме независимых переменных». Труды Американского математического общества. 49 (1): 122–136. Дои:10.1090 / S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Дарретт, Ричард (1991). Вероятность: теория и примеры. Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс / Коул. ISBN 0-534-13206-5.
  • Эссеен, Карл-Густав (1942). «О пределе ошибки Ляпунова в теории вероятностей». Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. A28: 1–19. ISSN 0365-4133.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Эссеен, Карл-Густав (1956). «Моментное неравенство с приложением к центральной предельной теореме». Сканд. Aktuarietidskr. 39: 160–170.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Феллер, Уильям (1972). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том II (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-25709-5.
  • Королев, В. Ю.; Шевцова И.Г. (2010а). «О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Берри – Эссеена». Теория вероятностей и ее приложения. 54 (4): 638–658. Дои:10.1137 / S0040585X97984449.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Королев Виктор; Шевцова, Ирина (2010b). «Улучшение неравенства Берри – Эссеена с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам». Скандинавский актуарный журнал. 2012 (2): 1–25. arXiv:0912.2795. Дои:10.1080/03461238.2010.485370.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Манукян, Эдвард Б. (1986). Современные концепции и теоремы математической статистики. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
  • Серфлинг, Роберт Дж. (1980). Аппроксимационные теоремы математической статистики. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-02403-1.
  • Шевцова И.Г. (2008). «Об абсолютной константе в неравенстве Берри – Эссеена». Сборник статей молодых ученых факультета вычислительной математики и кибернетики. (5): 101–110.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Шевцова, Ирина (2007). «Уточнение верхней границы абсолютной постоянной в неравенстве Берри – Эссеена». Теория вероятностей и ее приложения. 51 (3): 549–553. Дои:10.1137 / S0040585X97982591.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Шевцова, Ирина (2010). «Улучшение оценок скорости сходимости в теореме Ляпунова». Доклады Математики. 82 (3): 862–864. Дои:10.1134 / S1064562410060062.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Шевцова, Ирина (2011). «Об абсолютных константах в неравенствах типа Берри Эссеена для одинаково распределенных слагаемых». arXiv:1111.6554 [math.PR].CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Шиганов, И. (1986). «Уточнение верхней границы постоянной в остаточном члене центральной предельной теоремы». Журнал советской математики. 35 (3): 109–115. Дои:10.1007 / BF01121471.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Тюрин, И. (2009). «О точности гауссовского приближения». Доклады Математики. 80 (3): 840–843. Дои:10.1134 / S1064562409060155.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Тюрин, И. (2010). «Улучшение верхних оценок констант в теореме Ляпунова». Российские математические обзоры. 65 (3(393)): 201–202.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • ван Бик, П. (1972). «Применение методов Фурье к проблеме усиления неравенства Берри – Эссеена». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 23 (3): 187–196. Дои:10.1007 / BF00536558.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Золотарев, В. М. (1967). «Обострение неравенства Берри – Эссеина». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 8 (4): 332–342. Дои:10.1007 / BF00531598.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

  1. ^ Бенткус, Видмантас. "Оценка типа Ляпунова в Rd. »Теория вероятностей и ее приложения 49.2 (2005): 311–323.
  2. ^ Райч, Мартин. «Многомерная теорема Берри – Эссина с явными константами». Бернулли 25.4A (2019): 2824–2853.