WikiDer > Неравенство Богомолова – Мияока – Яу.

В математике Неравенство Богомолова – Мияока – Яу. это неравенство

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}}$

между Числа Черна из компактный сложные поверхности из общий тип. Его главный интерес заключается в том, как он ограничивает возможные топологические типы лежащего в основе вещественного 4-многообразия. Это было независимо доказано Шинг-Тунг Яу (1977, 1978) и Йоичи Мияока (1977), после Антониуса Ван де Вен (1966) и Федор Богомолов (1978) оказались более слабыми версиями с заменой константы 3 на 8 и 4.

Арман Борель и Фридрих Хирцебрух показал, что неравенство является наилучшим, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство ложно в положительной характеристике: Уильям Э. Лэнг (1983) и Роберт В. Истон (2008) привел примеры поверхностей в характеристике п, Такие как обобщенные поверхности Рейно, для которого это не удается.

Формулировка неравенства

Традиционная формулировка неравенства Богомолова – Мияока – Яу выглядит следующим образом. Позволять Икс быть компактной сложной поверхностью общий тип, и разреши c₁ = c₁(Икс) и c₂ = c₂(Икс) быть первым и вторым Черн класс комплексного касательного расслоения поверхности. потом

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}.}$

Более того, если выполняется равенство, то Икс является частным шара. Последнее утверждение является следствием дифференциально-геометрического подхода Яу, который основан на его разрешении Гипотеза Калаби.

С ${displaystyle c_ {2} (X) = e (X)}$ топологический Эйлерова характеристика и по Теорема Тома – Хирцебруха о сигнатуре ${displaystyle c_ {1} ^ {2} (X) = 2e (X) + 3sigma (X)}$ куда ${displaystyle sigma (X)}$ подпись форма пересечения на вторых когомологиях неравенство Богомолова – Мияока – Яу также можно записать как ограничение на топологический тип поверхности общего типа:

${displaystyle sigma (X) leq {frac {1} {3}} e (X),}$

кроме того, если ${displaystyle sigma (X) = (1/3) e (X)}$ тогда универсальное покрытие - шар.

Вместе с Неравенство Нётер Неравенство Богомолова – Мияока – Яу устанавливает границы при поиске сложных поверхностей. Отображение топологических типов, которые реализуются как сложные поверхности, называется география поверхностей. видеть поверхности общего типа.

Поверхности с c₁² = 3c₂

Если Икс поверхность общего типа с ${displaystyle c_ {1} ^ {2} = 3c_ {2}}$, так что равенство выполнено в неравенстве Богомолова – Мияока – Яу, то Яу (1977) доказал, что Икс изоморфна частному единичного шара в ${displaystyle {mathbb {C}} ^ {2}}$ бесконечной дискретной группой. Примеры поверхностей, удовлетворяющих этому равенству, найти сложно. Борель (1963) показал, что существует бесконечно много значений c²
₁ = 3c₂ для которого существует поверхность. Дэвид Мамфорд (1979) найти поддельная проективная плоскость с c²
₁ = 3c₂ = 9, что является минимально возможным значением, поскольку c²
₁ + c₂ всегда делится на 12, а Прасад и Юнг (2007), Прасад и Юнг (2010), Дональд И. Картрайт и Тим Стегер (2010) показал, что существует ровно 50 ложных проективных плоскостей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер (1987) дал метод поиска примеров, которые, в частности, дали поверхность Икс с c²
₁ = 3c₂ = 3²5⁴. Исида (1988) нашел частное этой поверхности с c²
₁ = 3c₂ = 45, а неразветвленные накрытия этого фактора дают примеры с c²
₁ = 3c₂ = 45k для любого положительного целого числа k.Дональд И. Картрайт и Тим Стегер (2010) нашел примеры с c²
₁ = 3c₂ = 9п для каждого положительного целого числа п.

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, МИСТЕР 2030225
• Бартель, Готфрид; Хирцебрух, Фридрих; Хёфер, Томас (1987), Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen, Аспекты математики, D4, Брауншвейг: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN 978-3-528-08907-8, МИСТЕР 0912097
• Богомолов, Федор А. (1978), "Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая, 42 (6): 1227–1287, ISSN 0373-2436, МИСТЕР 0522939
• Борель, Арман (1963), "Компактные формы Клиффорда-Клейна симметрических пространств", Топология. Международный журнал математики, 2 (1–2): 111–122, Дои:10.1016/0040-9383(63)90026-0, ISSN 0040-9383, МИСТЕР 0146301
• Картрайт, Дональд I .; Стегер, Тим (2010), "Перечисление 50 поддельных проективных плоскостей", Comptes Rendus Mathématique, Elsevier Masson SAS, 348 (1): 11–13, Дои:10.1016 / j.crma.2009.11.016
• Истон, Роберт В. (2008), "Поверхности, нарушающие Богомолов-Мияока-Яу в положительной характеристике", Труды Американского математического общества, 136 (7): 2271–2278, arXiv:математика / 0511455, Дои:10.1090 / S0002-9939-08-09466-5, ISSN 0002-9939, МИСТЕР 2390492
• Исида, Маса-Нори (1988), "Эллиптическая поверхность, покрытая поддельной проективной плоскостью Мамфорда", Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 40 (3): 367–396, Дои:10.2748 / tmj / 1178227980, ISSN 0040-8735, МИСТЕР 0957050
• Лэнг, Уильям Э. (1983), "Примеры поверхностей общего типа с векторными полями", Арифметика и геометрия, Vol. II, Прогр. Математика, 36, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 167–173, МИСТЕР 0717611
• Мияока, Йоичи (1977), "О числах Черна поверхностей общего типа", Inventiones Mathematicae, 42 (1): 225–237, Bibcode:1977InMat..42..225M, Дои:10.1007 / BF01389789, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0460343
• Мамфорд, Дэвид (1979), "Алгебраическая поверхность с K обильным, (K²) = 9, p_грамм= q = 0 ", Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 101 (1): 233–244, Дои:10.2307/2373947, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373947, МИСТЕР 0527834
• Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae, 168 (2): 321–370, arXiv:математика / 0512115, Bibcode:2007InMat.168..321P, Дои:10.1007 / s00222-007-0034-5, МИСТЕР 2289867
• Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2010), «Дополнение к» Поддельные проективные плоскости"", Inventiones Mathematicae, 182 (1): 213–227, arXiv:0906.4932, Bibcode:2010InMat.182..213P, Дои:10.1007 / s00222-010-0259-6, МИСТЕР 2672284
• Ван де Вен, Антониус (1966), "О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Национальная академия наук, 55 (6): 1624–1627, Bibcode:1966ПНАС ... 55,1624В, Дои:10.1073 / pnas.55.6.1624, ISSN 0027-8424, JSTOR 57245, МИСТЕР 0198496, ЧВК 224368, PMID 16578639
• Яу, Шинг Тунг (1977), "Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Национальная академия наук, 74 (5): 1798–1799, Bibcode:1977PNAS ... 74.1798Y, Дои:10.1073 / пнас.74.5.1798, ISSN 0027-8424, JSTOR 67110, МИСТЕР 0451180, ЧВК 431004, PMID 16592394
• Яу, Шинг Тунг (1978), "О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I", Сообщения по чистой и прикладной математике, 31 (3): 339–411, Дои:10.1002 / cpa.3160310304, ISSN 0010-3640, МИСТЕР 0480350