WikiDer > Лемма Брезиса – Либа.

В математической области анализ, то Лемма Брезиса – Либа. это основной результат в теория меры. Он назван в честь Хаим Брезис и Эллиотт Либ, который открыл ее в 1983 году. Лемму можно рассматривать как улучшение, в определенных условиях, Лемма Фату к равенству. Таким образом, он был полезен для изучения многих вариационные задачи.^[1]

Лемма и ее доказательство

Утверждение леммы

Позволять (Икс, μ) быть измерить пространство и разреши ж_п последовательность измеримых комплекснозначных функций на Икс которые почти всюду сходятся к функции ж. Ограничивающая функция ж измеряется автоматически. Лемма Брезиса – Либа утверждает, что если п положительное число, то

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {X} { Big |} | f | ^ {p} - | f_ {n} | ^ {p} + | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} , d mu = 0,}$

при условии, что последовательность ж_п равномерно ограничена в L^п(Икс, μ).^[2] Значительное последствие, которое обостряет Лемма Фату применительно к последовательности |ж_п|^п, в том, что

${ displaystyle int _ {X} | е | ^ {p} , d mu = lim _ {n to infty} left ( int _ {X} | f_ {n} | ^ {p } , d mu - int _ {X} | f-f_ {n} | ^ {p} , d mu right),}$

что следует из неравенства треугольника. Это следствие часто принимают за утверждение леммы, хотя более прямого доказательства оно не имеет.^[3]

Доказательство

Суть доказательства в неравенствах

${ displaystyle { begin {align} W_ {n} Equiv { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p } { Big |} & leq { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} + | f | ^ {p} & leq varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} + C _ { varepsilon} | f | ^ {p}. end {align}}}$

Следствием этого является то, что W_п - ε |ж − ж_п|^п, почти всюду сходящаяся к нулю, ограничена сверху интегрируемой функцией независимо от п. Наблюдение, что

${ Displaystyle W_ {n} leq max { Big (} 0, W_ {n} - varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} { Big)} + varepsilon | f-f_ { п} | ^ {p},}$

и применение теорема о доминируемой сходимости к первому члену в правой части показывает, что

${ Displaystyle limsup _ {п к infty} int _ {X} W_ {n} , d mu leq varepsilon sup _ {n} int _ {X} | е-е_ {п } | ^ {p} , d mu.}$

Конечность супремума в правой части при произвольности ε, показывает, что левая часть должна быть равна нулю.

Рекомендации