WikiDer > Показатель пакета

Bundle metric

В дифференциальная геометрия, понятие метрический тензор можно продолжить до произвольного векторный набор, и некоторым основные пучки волокон. Этот показатель часто называют метрика пакета, или же метрика волокна.

Определение

Если M это топологическое многообразие и π : EM векторный пучок на M, то метрика на E это карта пакета k : E ×M EM × р от волокнистый продукт из E с собой к тривиальная связка с волокном р так что ограничение k к каждому волокну над M это невырожденный билинейная карта из векторные пространства.[1] Грубо говоря, k дает своего рода точечный продукт (не обязательно симметричный или положительно определенный) на векторном пространстве над каждой точкой M, и эти продукты плавно меняются M.

Характеристики

Каждое векторное расслоение с паракомпактным базовым пространством может быть оснащено метрикой расслоения.[1] Для векторного расслоения ранга п, это следует из диаграммы пакетов : метрику пакета можно рассматривать как откат внутренний продукт метрики на ; например, ортонормированные карты евклидова пространства. В структурная группа такой метрики является ортогональная группа О(п).

Пример: метрика Римана

Если M это Риманово многообразие, и E это его касательный пучок ТM, то Риманова метрика дает метрику связки, и наоборот.[1]

Пример: на вертикальных связках

Если связка π:пM это основной пучок волокон с группой грамм, и грамм это компактная группа Ли, то существует Ad (грамм) -инвариантный внутренний продукт k на волокнах, взятых из внутреннего продукта на соответствующем компактная алгебра Ли. Точнее, есть метрический тензор k определены на вертикальный пучок E = Vп такой, что k инвариантно относительно умножения слева:

для вертикальных векторов Икс, Y и Lграмм левое умножение на грамм вдоль волокна и Lграмм* это продвигать. То есть, E - векторное расслоение, состоящее из вертикального подпространства касательной к главному расслоению.

В более общем смысле, если у вас есть компактная группа с Мера Хаара μ и произвольный внутренний продукт h (X, Y) определенная в касательном пространстве некоторой точки в грамм, можно определить инвариантную метрику, просто усредняя по всей группе, т. е. определяя

как в среднем.

Приведенное выше понятие можно распространить на связанный пакет куда V - векторное пространство, ковариантно преобразующееся при некоторых представление из грамм.

По поводу теории Калуцы – Клейна.

Если базовое пространство M также метрическое пространство, с метрикой грамм, а главное расслоение наделено форма подключения ω, то π*g + kω - метрика, определенная на всей касательный пучок E = Tп.[2]

Точнее, пишут π*грамм(Икс,Y) = грамм(π*Икс, π*Y) куда π* это продвигать проекции π, и грамм это метрический тензор на базовом пространстве M. Выражение следует понимать как ()(Икс,Y) = k(ω(Икс),ω(Y)), с k метрический тензор на каждом слое. Здесь, Икс и Y являются элементами касательное пространство Тп.

Обратите внимание, что подъемник π*g исчезает на вертикальное подпространство ТV (поскольку π* обращается в нуль на вертикальных векторах), а kω обращается в нуль на горизонтальном подпространстве TЧАС (поскольку горизонтальное подпространство определяется как часть касательного пространства Tп на котором связность ω обращается в нуль). Поскольку полное касательное пространство расслоения представляет собой прямую сумму вертикального и горизонтального подпространств (то есть Tп = TV ⊕ ТЧАС) эта метрика корректно определена на всем расслоении.

Эта метрика расслоения лежит в основе обобщенной формы Теория Калуцы – Клейна благодаря нескольким интересным свойствам, которыми он обладает. В скалярная кривизна полученная из этой метрики постоянна на каждом волокне,[2] это следует из Ad (грамм) инвариантность метрики слоя k. Скалярная кривизна на связке может быть разложена на три отдельных части:

рE = рM(грамм) + L(грамм, ω) + рграмм(k)

куда рE - скалярная кривизна на расслоении в целом (полученная из метрики π*g + kω выше), и рM(грамм) - скалярная кривизна на базовом многообразии MПлотность лагранжиана из Действие Эйнштейна – Гильберта), и L(грамм, ω) - плотность лагранжиана для Действие Янга – Миллса, и рграмм(k) - скалярная кривизна на каждом слое (полученная из метрики слоя k, а постоянная, благодаря Ad (грамм) -инвариантность метрики k). Аргументы означают, что рM(грамм) зависит только от метрики грамм на базовом многообразии, но не ω или k, и аналогично, что рграмм(k) зависит только от k, а не на грамм или ω и так далее.

Рекомендации

  1. ^ а б c Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ, Universitext (Шестое изд.), Springer, Heidelberg, p. 46, Дои:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, МИСТЕР 2829653.
  2. ^ а б Дэвид Бликер "Калибровочная теория и вариационные принципы"(1982) D. Reidel Publishing (См. Главу 9)