WikiDer > Категория топологических пространств

В математика, то категория топологических пространств, часто обозначаемый Вершина, это категория чей объекты находятся топологические пространства и чей морфизмы находятся непрерывные карты. Это категория, потому что сочинение двух непрерывных отображений снова непрерывна, а тождественная функция непрерывна. Изучение Вершина и свойств топологические пространства используя методы теория категорий известен как категориальная топология.

N.B. Некоторые авторы используют имя Вершина для категорий с топологические многообразия или с компактно порожденные пространства как объекты и непрерывные карты как морфизмы.

Как конкретная категория

Как и многие категории, категория Вершина это конкретная категория, то есть его объекты наборы с дополнительной структурой (то есть топологиями) и его морфизмами являются функции сохраняя эту структуру. Есть естественный забывчивый функтор

U : Вершина → Набор

к категория наборов который присваивает каждому топологическому пространству базовое множество и каждой непрерывной карте базовое функция.

Забывчивый функтор U имеет как левый смежный

D : Набор → Вершина

который снабжает данный набор дискретная топология, а правый смежный

я : Набор → Вершина

который снабжает данный набор недискретная топология. На самом деле оба этих функтора право обратное к U (означающий, что UD и UI равны функтор идентичности на Набор). Более того, поскольку любая функция между дискретными или недискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора дают полные вложения из Набор в Вершина.

Вершина это также полный волокна это означает, что категория всех топологий на данном наборе Икс (называется волокно из U над Икс) образует полная решетка по заказу включение. В величайший элемент в этом слое дискретная топология на Икс, в то время как наименьший элемент - недискретная топология.

Вершина модель того, что называется топологическая категория. Эти категории характеризуются тем, что каждый структурированный источник ${ displaystyle (X к UA_ {i}) _ {I}}$ имеет уникальный начальный подъем ${ Displaystyle (от А до А_ {я}) _ {I}}$. В Вершина начальный подъем достигается путем размещения начальная топология на источнике. Топологические категории имеют много общих свойств с Вершина (например, послойная полнота, дискретные и недискретные функторы и однозначное снятие ограничений).

Пределы и коллимиты

Категория Вершина оба полный и неполный, что означает, что все мелкие пределы и копределы существовать в Вершина. Фактически, забывчивый функтор U : Вершина → Набор однозначно снимает ограничения и копределы, а также сохраняет их. Следовательно, (со) пределы в Вершина задаются помещением топологий в соответствующие (ко) пределы в Набор.

В частности, если F это диаграмма в Вершина и (L, φ : L → F) является пределом UF в Набор, соответствующий предел F в Вершина получается путем размещения начальная топология на (L, φ : L → F). Дважды копределы в Вершина получаются путем размещения окончательная топология на соответствующих копределах в Набор.

В отличие от многих алгебраический категории, забывчивый функтор U : Вершина → Набор не создает и не отражает ограничений, поскольку обычно не существует универсальных шишки в Вершина покрытие универсальных конусов в Набор.

Примеры пределов и копределов в Вершина включают:

• В пустой набор (рассматриваемое как топологическое пространство) является исходный объект из Вершина; любой одиночка топологическое пространство - это конечный объект. Таким образом, нет нулевые объекты в Вершина.
• В товар в Вершина дается топология продукта на Декартово произведение. В сопродукт дается несвязный союз топологических пространств.
• В эквалайзер пары морфизмов задается помещением топология подпространства на теоретико-множественном эквалайзере. Вдвойне коэквалайзер дается путем размещения факторная топология на теоретико-множественном коуравнителе.
• Прямые ограничения и обратные пределы теоретико-множественные пределы с окончательная топология и начальная топология соответственно.
• Прилегающие пространства являются примером выталкивания в Вершина.

Другие свойства

• В мономорфизмы в Вершина являются инъективный непрерывные карты, эпиморфизмы являются сюръективный непрерывные карты, а изоморфизмы являются гомеоморфизмы.
• В экстремальный мономорфизмами являются (с точностью до изоморфизма) подпространство вложения. Фактически, в Вершина все экстремальные мономорфизмы обладают более сильным свойством быть обычный.
• Экстремальные эпиморфизмы (по сути) являются факторные карты. Каждый экстремальный эпиморфизм регулярен.
• Расщепленные мономорфизмы (по сути) являются включениями убирает в их окружающее пространство.
• Расщепленные эпиморфизмы - это (с точностью до изоморфизма) непрерывные сюръективные отображения пространства на один из его ретрактов.
• Нет нулевые морфизмы в Вершина, и, в частности, категория не предаддитив.
• Вершина не является декартово закрыто (а значит, и не топос), поскольку в нем нет экспоненциальные объекты для всех пространств. Когда эта функция желательна, часто ограничивают полную подкатегорию компактно порожденные хаусдорфовы пространства CGHaus.

Отношения с другими категориями

• Категория точечные топологические пространства Вершина_• это категория coslice над Вершина.
• В гомотопическая категория hTop имеет топологические пространства для объектов и классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений морфизмов. Это факторная категория из Вершина. Аналогичным образом можно образовать отмеченную гомотопическую категорию hTop_•.
• Вершина содержит важную категорию Haus из Хаусдорфовы пространства как полная подкатегория. Дополнительная структура этой подкатегории допускает наличие большего количества эпиморфизмов: фактически, эпиморфизмы в этой подкатегории - это в точности те морфизмы с плотный изображений в их кодомены, так что эпиморфизмы не обязательно сюръективный.
• Вершина содержит полную подкатегорию CGHaus из компактно порожденные хаусдорфовы пространства, который имеет важное свойство быть Декартова закрытая категория но при этом все еще содержит все типичные интересующие нас пространства. Это делает CGHaus особенно удобная категория топологических пространств который часто используется вместо Вершина.
• Забывчивый функтор к Набор имеет как левое, так и правое сопряжение, как описано выше в разделе конкретных категорий.
• Существует функтор категории локации Loc отправка топологического пространства в его локаль открытых множеств. У этого функтора есть правый сопряженный элемент, который отправляет каждую локаль в ее топологическое пространство точек. Это дополнение ограничивает эквивалентность категории трезвые пространства и пространственные локации.

Рекомендации

• Херрлих, Хорст: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Конспект лекций по математике 78 (1968).
• Херрлих, Хорст: Категориальная топология 1971–1981 гг.. В: Общая топология и ее отношения к современному анализу и алгебре 5, Heldermann Verlag 1983, стр. 279–383.
• Герлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э .: Категориальная топология - ее истоки на примере развития теории топологических отражений и базовых отражений до 1971 г.. В: Справочник по истории общей топологии (ред. C.E. Олл и Р. Лоуэн), Kluwer Acad. Publ. том 1 (1997) стр. 255–341.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E .; (1990). Абстрактные и конкретные категории (4,2 МБ PDF). Первоначально опубл. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. (теперь бесплатная онлайн-версия).