WikiDer > Максимальное неравенство Христа – Киселева - Википедия

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Июнь 2014 г.) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июнь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике Максимальное неравенство Христа – Киселева это максимальное неравенство за фильтрации, названный в честь математиков Михаила Христа и Александра Киселева.^[1]

Непрерывная фильтрация

А непрерывная фильтрация из ${ Displaystyle (М, му)}$ семейство измеримых множеств ${ Displaystyle {А _ { альфа} } _ { альфа в mathbb {R}}}$ такой, что

1. ${ displaystyle A _ { alpha} nearrow M}$, ${ displaystyle bigcap _ { alpha in mathbb {R}} A _ { alpha} = emptyset}$, и ${ displaystyle mu (A _ { beta} setminus A _ { alpha}) < infty}$ для всех ${ displaystyle beta> alpha}$ (стратификационный)
2. ${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0 ^ {+}} mu (A _ { alpha + varepsilon} setminus A _ { alpha}) = lim _ { varepsilon to 0 ^ {+} } mu (A _ { alpha} setminus A _ { alpha + varepsilon}) = 0}$ (преемственность)

Например, ${ Displaystyle mathbb {R} = M}$ с мерой ${ displaystyle mu}$ что не имеет чистых точек и

${ displaystyle A _ { alpha}: = { begin {cases} {| x | leq alpha }, & alpha> 0, emptyset, & alpha leq 0. end {cases }}}$

это непрерывная фильтрация.

Версия Continuum

Позволять ${ Displaystyle 1 Leq р <д Leq infty}$ и предположим ${ Displaystyle T: L ^ {p} (M, mu) к L ^ {q} (N, nu)}$ это ограниченный линейный оператор за ${ displaystyle sigma -}$конечный ${ Displaystyle (М, му), (N, ню)}$. Определим максимальную функцию Христа – Киселева.

${ Displaystyle T ^ {*} е: = sup _ { alpha} | T (е чи _ { alpha}) |,}$

куда ${ displaystyle chi _ { alpha}: = chi _ {A _ { alpha}}}$. потом ${ Displaystyle T ^ {*}: L ^ {p} (M, mu) to L ^ {q} (N, nu)}$ - ограниченный оператор, а

${ displaystyle | T ^ {*} f | _ {q} leq 2 ^ {- (p ^ {- 1} -q ^ {- 1})} (1-2 ^ {- (p ^ { -1} -q ^ {- 1})}) ^ {- 1} | T | | f | _ {p}.}$

Дискретная версия

Позволять ${ Displaystyle 1 Leq р <д Leq infty}$, и предположим ${ Displaystyle W: ell ^ {p} ( mathbb {Z}) к L ^ {q} (N, nu)}$ - линейный ограниченный оператор для ${ displaystyle sigma -}$конечный ${ Displaystyle (М, му), (N, ню)}$. Определить, для ${ Displaystyle а в ell ^ {p} ( mathbb {Z})}$,

${ displaystyle ( chi _ {n} a): = { begin {cases} a_ {k}, & | k | leq n 0, & { text {else}}. end {cases} }}$

и ${ Displaystyle sup _ {п in mathbb {Z} ^ { geq 0}} | W ( chi _ {n} a) | =: W ^ {*} (a)}$. потом ${ Displaystyle W ^ {*}: ell ^ {p} ( mathbb {Z}) to L ^ {q} (N, nu)}$ - ограниченный оператор.

Здесь, ${ displaystyle A _ { alpha} = { begin {case} [- alpha, alpha], & alpha> 0 emptyset, & alpha leq 0 end {cases}}}$.

Дискретная версия может быть доказана из континуальной версии путем построения ${ Displaystyle T: L ^ {p} ( mathbb {R}, dx) к L ^ {q} (N, nu)}$.^[2]

Приложения

Максимальное неравенство Христа – Киселева имеет приложения к преобразование Фурье и сближение Ряд Фурье, а также к изучению операторов Шредингера.^[1][2]

Рекомендации