WikiDer > Круговой сектор

Малый сектор закрашен зеленым, а большой - белым.

А круговой сектор или же круговой сектор (символ: ⌔), является частью диск окружен двумя радиусы и дуга, где меньший площадь известен как второстепенный сектор, а большой - как основной сектор.^[1]:234 На диаграмме θ - это центральный угол, ${ displaystyle r}$ радиус круга, и ${ displaystyle L}$ - длина дуги малого сектора.

Сектор с центральным углом 180 ° называется полудиск и ограничен диаметр и полукруг. Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, в том числе квадранты (90°), секстанты (60 °) и октанты (45 °), которые исходят из сектора, составляющего четвертую, шестую или восьмую часть полного круга соответственно. Как ни странно, дугу квадранта также можно назвать квадрантом.

Угол, образованный соединением концов дуги с любой точкой окружности, не входящей в сектор, равен половине центрального угла.^[2]:376

Площадь

Общая площадь круга равна πр². Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на соотношение угла θ (выраженного в радианах) и 2π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2π - угол всего круга в радианах):

${ displaystyle A = pi r ^ {2} , { frac { theta} {2 pi}} = { frac {r ^ {2} theta} {2}}}$

Площадь сектора по L можно получить, умножив общую площадь πр² по соотношению L к общему периметру 2πр.

${ displaystyle A = pi r ^ {2} , { frac {L} {2 pi r}} = { frac {rL} {2}}}$

Другой подход - рассматривать эту область как результат следующего интеграла:

${ displaystyle A = int _ {0} ^ { theta} int _ {0} ^ {r} dS = int _ {0} ^ { theta} int _ {0} ^ {r} { tilde {r}} , d { tilde {r}} , d { tilde { theta}} = int _ {0} ^ { theta} { frac {1} {2}} r ^ {2} , d { tilde { theta}} = { frac {r ^ {2} theta} {2}}}$

Преобразование центрального угла в градусы дает^[3]

${ displaystyle A = pi r ^ {2} { frac { theta ^ { circ}} {360 ^ { circ}}}}$

Периметр

Длина периметр сектора - это сумма длины дуги и двух радиусов:

${ Displaystyle P = L + 2r = theta r + 2r = r ( theta +2)}$

куда θ в радианах.

Длина дуги

Формула длины дуги:^[4]:570

${ Displaystyle L = г тета}$

где L представляет длину дуги, r представляет радиус окружности, а θ представляет угол в радианах, образованный дугой в центре окружности.^[5]:79

Если значение угла указано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу:^[3]

${ displaystyle L = 2 pi r { frac { theta} {360}}}$

Длина хорды

Длина аккорд образованный из экстремальных точек дуги, задается формулой

${ displaystyle C = 2R sin { frac { theta} {2}}}$

где C представляет длину хорды, R представляет радиус круга, а θ представляет угловую ширину сектора в радианах.

Смотрите также

• Круговой сегмент - часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром окружности и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Коническое сечение

Рекомендации

Источники

• Джерард, Л. Дж. В., Элементы геометрии в восьми книгах; или "Первый шаг в прикладной логике" (Лондон, Лонгманс, Грин, Читатель и Дайер, 1874), п. 285.

• Лежандр, А.М., Элементы геометрии и тригонометрии, Чарльз Дэвис, изд. (Нью-Йорк: A. S. Barnes & Co., 1858), п. 119.