WikiDer > Логика класса

Логика класса это логика в широком смысле, чьи объекты называются классами. В более узком смысле о логике класса говорят, только если классы описываются свойством своих элементов. Таким образом, логика классов является обобщением теория множеств, что позволяет ограниченное рассмотрение классов.

Логика классов в строгом смысле слова

Логика первого класса в строгом смысле слова была создана Джузеппе Пеано в 1889 г. как основа его арифметики (Аксиомы Пеано). Он ввел термин "класс", который формально правильно описывает классы через свойство их элементов. Сегодня термин класса обозначается в форме {x | A (x)}, где A (x) - произвольное утверждение, которому соответствуют все члены класса x. Пеано впервые аксиоматизировал термин «класс» и использовал его полностью. Готтлоб Фреге также пытался установить арифметическую логику с классовыми терминами в 1893 году; Бертран Рассел обнаружил в ней конфликт в 1902 году, который стал известен как Парадокс Рассела. В результате стало общеизвестно, что нельзя безопасно использовать термины класса.

Чтобы решить эту проблему, Рассел разработал свой теория типов с 1903 по 1908 год, что позволяло только ограниченное использование классов. Среди математиков теория типов Рассела была вытеснена альтернативной аксиоматизацией теории множеств, инициированной Эрнст Цермело^{[требуется разъяснение]}. Эта аксиоматизация не является классовой логикой в ​​более узком смысле, потому что в ее нынешней форме (Цермело-Френкель или NBG) она не аксиоматизирует термин класса, а использует его только на практике как полезную нотацию. Уиллард Ван Орман Куайн описал теорию множеств Новые основы (NF) в 1937 году, основываясь на теории типов, задуманной как альтернатива Цермело-Френкелю. В 1940 году Куайн перевел NF в математическую логику (ML). Поскольку антиномия из Бурали-Форти был получен в первой версии ML,^[1] Куайн разъяснил ML, сохранив широкое использование классов, и принял предложение Хао Ванга.^[2] введя в 1963 г. в свою теорию {x | A (x)} как виртуальный класс, так что классы хотя и не являются полноценными терминами, но являются подтермами в определенных контекстах.^[3]

После Куайна Арнольд Обершельп разработал первую полнофункциональную современную аксиоматическую классовую логику начиная с 1974 года. Это последовательное расширение логика предикатов и позволяет неограниченное использование терминов класса (например, Пеано).^[4] Он использует все классы, порождающие антиномии наивная теория множеств как термин. Это возможно, потому что теория не предполагает аксиом существования классов. В частности, он предполагает любое количество аксиом, но также может принимать их и синтаксически корректно формулировать в традиционно простом дизайне с терминами классов. Например, теория множеств Обершельпа разработала Теория множеств Цермело – Френкеля в рамках логики классов.^[5] Три принципа гарантируют, что громоздкие формулы ZF можно перевести в формулы удобных классов; гарантируют классовый логический рост в языке ZF, который они формируют без аксиом количества вместе с аксиомами логики предикатов и системой аксиом для простой логики общего класса.^[6]

Принцип абстракции (Резюме) утверждает, что классы описывают свои элементы с помощью логического свойства:

${ displaystyle forall y двоеточие (y in {x mid A (x) } iff A (y))}$

Принцип протяженности (Extensionalitätsprinzip ) описывает равенство классов путем сопоставления их элементов и устраняет аксиома протяженности в ZF:

${ Displaystyle A = B iff forall x двоеточие (x in A iff x in B)}$

В принцип понимания (Komprehensionsprinzip) определяет существование класса как элемента:

${ Displaystyle {х середина А (х) } в В если и только если существует у двоеточие (у = {х середина А (х) } земля у в В)}$

Библиография

• Джузеппе Пеано: Принципы арифметики. Nova methoddo exposita. Corso, Torino u. а. 1889 (Ош в: Джузеппе Пеано: Opere scelte. Группа 2. Cremonese, Rom 1958, S. 20–55).
• Г. Фреге: Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Группа 1. Pohle, Jena 1893.
• Уиллард Ван Орман Куайн: Новые основы математической логики, в: American Mathematical Monthly 44 (1937), S. 70-80.
• Уиллард Ван Орман Куайн: Теория множеств и ее логика, исправленное издание. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1969 ISBN 0-674-80207-1.
• Арнольд Обершельп: Elementare Logik und Mengenlehre (= BI-Hochschultaschenbücher 407–408). 2 Bände. Bibliographisches Institut, Mannheim u. а. 1974–1978, ISBN 3-411-00407-X (Bd. 1), ISBN 3-411-00408-8 (Бр. 2).
• Альберт Менне Grundriß der formalen Logik (= Uni-Taschenbücher 59 UTB für Wissenschaft). Шенинг, Падерборн 1983, ISBN 3-506-99153-1 (Переименован Grundriß der Logistik начиная с 5-го издания - в книге среди прочего расчет, возможное применение исчисления к логике классов, основанное на исчислении высказываний и предикатов и несущее основные термины формальные системы к классовой логике. Здесь также кратко обсуждаются парадоксы и теория типов).
• Юрген-Михаэль Глубрехт, Арнольд Обершельп, Гюнтер Тодт: Классенлогик. Bibliographisches Institut, Mannheim u. а. 1983, ISBN 3-411-01634-5.
• Арнольд Обершельп: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. а. 1994, ISBN 3-411-17271-1.

Рекомендации

Этот математическая логика-связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е