WikiDer > Клоусон пойнт

Клоусон пойнт ${ displaystyle P}$ в качестве гомотетический центр для подобных треугольников ${ Displaystyle треугольник T_ {a} T_ {b} T_ {c}}$ и ${ Displaystyle треугольник H_ {a} H_ {b} H_ {c}}$(красный)

В Клоусон пойнт особая точка в плоском треугольнике, определяемая трилинейные координаты ${ Displaystyle загар ( альфа): загар ( бета): загар ( гамма)}$^[1] (Номер Кимберлинга X (19)), где ${ displaystyle alpha, beta, gamma}$ внутренние углы при вершинах треугольника ${ displaystyle A, B, C}$. Он назван в честь Джон Вентворт Клоусон, опубликовавший ее в 1925 г. Американский математический ежемесячный журнал.

Геометрические конструкции

Существует как минимум два способа построения точки Клоусона, которые также можно использовать как определения точки без координат. В обоих случаях у вас есть два треугольника, где три линии, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона.

Строительство 1

Для данного треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ позволять ${ Displaystyle треугольник H_ {a} H_ {b} H_ {c}}$ быть его ортический треугольник и ${ Displaystyle треугольник T_ {a} T_ {b} T_ {c}}$ треугольник, образованный внешними касательными к его трем вне окружности. Эти два треугольника похожи, и точка Клоусона - их центр сходства, поэтому три строки ${ displaystyle T_ {a} H_ {a}, T_ {b} H_ {b}, T_ {c} H_ {c}}$ соединяющие их вершины встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона.^[2][3]

Строительство 2

Клоусон пойнт ${ displaystyle P}$ как перспективный центр перспективных треугольников ${ Displaystyle треугольник ABC}$ и ${ Displaystyle треугольник A'B'C '}$

Для треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ его описанная окружность пересекает каждую из трех вневписанных окружностей в двух точках. Три линии, проходящие через эти точки пересечения, образуют треугольник. ${ Displaystyle треугольник A ^ { prime} B ^ { prime} C ^ { prime}}$. Этот треугольник и треугольник ${ Displaystyle треугольник ABC}$ - перспективные треугольники с точкой Клоусона, перспективный центр. Следовательно, три строки ${ Displaystyle AA ^ { prime}, BB ^ { prime}, CC ^ { prime}}$ встретимся в мысе Клоусон.^[1]

История

Точка теперь названа в честь Дж. У. Клоусона, который опубликовал ее трилинейные координаты 1925 года в American Mathematical Monthly как задачу 3132, где он попросил геометрическое построение этой точки.^[4] Однако французский математикЭмиль Лемуан уже исследовал этот вопрос в 1886 году.^[5] Позже эта точка была независимо открыта Р. Лайнессом и Г. Р. Велдкампом в 1983 году, которые назвали ее решающий момент после канадского математического журнала Crux Mathematicorum, в котором она была опубликована как задача 682.^[1]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Клоусон-Пойнт». MathWorld.
• X (19) = ТОЧКА КЛОУСОНА унд КЛОУСОН ТОЧКА в Энциклопедии центров Trinagle (ETC)
• LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
• Точка Клоусона: Ортический треугольник, Треугольник Внешних частей, Гомотетия или Гомотетия