WikiDer > Полностью положительная карта

Completely positive map

В математика а положительная карта это карта между C * -алгебры который передает положительные элементы положительным элементам. Полностью положительное отображение - это карта, которая удовлетворяет более сильному и надежному условию.

Определение

Позволять и быть C * -алгебры. Линейная карта называется положительная карта если карты положительные элементы к положительным элементам: .

Любая линейная карта вызывает другую карту

естественным образом. Если отождествляется с C * -алгеброй из -матрицы с записями в , тогда выступает в качестве

Мы говорим что является k-положительный если положительное отображение, и называется полностью положительный если k-положительно для всех k.

Характеристики

  • Положительные карты монотонны, т.е. для всех самосопряженный элементы .
  • С всякое положительное отображение автоматически непрерывно относительно C * -нормы и ее норма оператора равно . Аналогичное утверждение с приближенными единицами справедливо для неунитальных алгебр.
  • Множество положительных функционалов это двойной конус конуса положительных элементов .

Примеры

  • Каждый *-гомоморфизм полностью положительный.
  • Для каждого линейного оператора между гильбертовыми пространствами отображение полностью положительный. Теорема Стайнспринга говорит, что все вполне положительные отображения являются композициями * -гомоморфизмов и этих специальных отображений.
  • Каждый положительный функционал (в частности, каждый государственный) автоматически становится полностью положительным.
  • Каждая положительная карта полностью положительный.
  • В транспонирование матриц является стандартным примером положительного отображения, которое не может быть 2-положительным. Обозначим через T это отображение на . Ниже приводится положительная матрица в :

Изображение этой матрицы под является

что явно не положительно, имея определитель -1. Более того, собственные значения этой матрицы 1,1,1 и -1.
Кстати, отображение Φ называется положительный если композиция Φ Т положительный. Сама карта транспозиции является копозитивной картой.

Смотрите также