В теория вероятности и статистика , а комплексный случайный вектор обычно кортеж из сложный -значен случайные переменные , и обычно является случайной величиной, принимающей значения в векторное пространство над поле комплексных чисел. Если Z 1 , … , Z п { Displaystyle Z_ {1}, ldots, Z_ {n}} п пара ( Z 1 , … , Z п ) { displaystyle left (Z_ {1}, ldots, Z_ {n} right)}
Некоторые концепции реальных случайных векторов имеют прямое обобщение на сложные случайные векторы. Например, определение иметь в виду сложного случайного вектора. Другие концепции уникальны для сложных случайных векторов.
Приложения сложных случайных векторов находятся в цифровая обработка сигналов .
Определение
Сложный случайный вектор Z = ( Z 1 , … , Z п ) Т { Displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ldots, Z_ {n}) ^ {T}} вероятностное пространство ( Ω , F , п ) { displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} функция Z : Ω → C п { Displaystyle mathbf {Z} двоеточие Omega rightarrow mathbb {C} ^ {n}} ( ℜ ( Z 1 ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z п ) , ℑ ( Z п ) ) Т { Displaystyle ( Re {(Z_ {1})}, Im {(Z_ {1})}, ldots, Re {(Z_ {n})}, Im {(Z_ {n})} ) ^ {T}} реальный случайный вектор на ( Ω , F , п ) { displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} ℜ ( z ) { Displaystyle Re {(г)}} z { displaystyle z} ℑ ( z ) { Displaystyle Im {(г)}} z { displaystyle z} [1] :п. 292
Кумулятивная функция распределения
Обобщение кумулятивной функции распределения от реальных до комплексных случайных величин неочевидно, поскольку выражения вида п ( Z ≤ 1 + 3 я ) { Displaystyle P (Z leq 1 + 3i)} п ( ℜ ( Z ) ≤ 1 , ℑ ( Z ) ≤ 3 ) { Displaystyle Р ( Re {(Z)} Leq 1, Im {(Z)} Leq 3)} F Z : C п ↦ [ 0 , 1 ] { Displaystyle F _ { mathbf {Z}}: mathbb {C} ^ {n} mapsto [0,1]} Z = ( Z 1 , . . . , Z п ) Т { Displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {n}) ^ {T}}
F Z ( z ) = п ( ℜ ( Z 1 ) ≤ ℜ ( z 1 ) , ℑ ( Z 1 ) ≤ ℑ ( z 1 ) , … , ℜ ( Z п ) ≤ ℜ ( z п ) , ℑ ( Z п ) ≤ ℑ ( z п ) ) { Displaystyle F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z}) = operatorname {P} ( Re {(Z_ {1})} leq Re {(z_ {1})}, Im {(Z_ {1})} leq Im {(z_ {1})}, ldots, Re {(Z_ {n})} leq Re {(z_ {n})}, Im { (Z_ {n})} leq Im {(z_ {n})})} (Уравнение 1 )
куда z = ( z 1 , . . . , z п ) Т { Displaystyle mathbf {z} = (z_ {1}, ..., z_ {n}) ^ {T}}
Ожидание
Как и в реальном случае ожидание (также называемый ожидаемое значение ) комплексного случайного вектора берется покомпонентно.[1] :п. 293
E [ Z ] = ( E [ Z 1 ] , … , E [ Z п ] ) Т { displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z}] = ( operatorname {E} [Z_ {1}], ldots, operatorname {E} [Z_ {n}]) ^ {T}} (Уравнение 2 )
Матрица ковариации и матрица псевдоковариации
Определения В ковариационная матрица второй центральный момент ) K Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} п × 1 { Displaystyle п раз 1} п × п { Displaystyle п раз п} матрица чей ( я , j ) { displaystyle (я, j)} th элемент - это ковариация между я th и j th случайные переменные.[2] :стр.372 В отличие от реальных случайных величин, ковариация между двумя случайными величинами включает комплексно сопряженный одного из двух. Таким образом, ковариационная матрица представляет собой Эрмитова матрица .[1] :п. 293
K Z Z = cov [ Z , Z ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Z − E [ Z ] ) ЧАС ] = E [ Z Z ЧАС ] − E [ Z ] E [ Z ЧАС ] { displaystyle { begin {align} & operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {Z}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {H} ] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H }] [12pt] end {выровнено}}}
(Уравнение 3 )
K Z Z = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ¯ ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ¯ ] ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - имя оператора {E} [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ { n}])}}] конец {bmatrix}}} В псевдоковариационная матрица (также называемая матрицей отношений) определяется следующим образом. В отличие от ковариационной матрицы, определенной выше Эрмитова транспозиция заменяется на транспозиция в определении.
J Z Z = cov [ Z , Z ¯ ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( Z − E [ Z ] ) Т ] = E [ Z Z Т ] − E [ Z ] E [ Z Т ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {Z}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {T} ]}
(Уравнение 4 )
J Z Z = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ] E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( Z п − E [ Z п ] ) ] ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {2 } - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {n} - имя оператора {E} [Z_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {1} - operatorname {E } [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {1} - имя оператора {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n} ])] end {bmatrix}}} Характеристики Ковариационная матрица - это эрмитова матрица , т.е.[1] :п. 293
K Z Z ЧАС = K Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} ^ {H} = operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} Матрица псевдоковариации - это симметричная матрица , т.е.
J Z Z Т = J Z Z { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} ^ {T} = operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица , т.е.
а ЧАС K Z Z а ≥ 0 для всех а ∈ C п { displaystyle mathbf {a} ^ {H} operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} mathbf {a} geq 0 quad { text {для всех}} mathbf {а} in mathbb {C} ^ {n}} Ковариационные матрицы действительной и мнимой частей Разложив случайный вектор Z { displaystyle mathbf {Z}} Икс = ℜ ( Z ) { Displaystyle mathbf {X} = Re {( mathbf {Z})}} Y = ℑ ( Z ) { Displaystyle mathbf {Y} = Im {( mathbf {Z})}} Z = Икс + я Y { Displaystyle mathbf {Z} = mathbf {X} + я mathbf {Y}} K Z Z { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} J Z Z { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}} Икс { displaystyle mathbf {X}} Y { displaystyle mathbf {Y}}
K Икс Икс = E [ ( Икс − E [ Икс ] ) ( Икс − E [ Икс ] ) Т ] = 1 2 Re ( K Z Z + J Z Z ) K Икс Y = E [ ( Икс − E [ Икс ] ) ( Y − E [ Y ] ) Т ] = 1 2 Я ( − K Z Z + J Z Z ) K Y Икс = E [ ( Y − E [ Y ] ) ( Икс − E [ Икс ] ) Т ] = 1 2 Я ( K Z Z + J Z Z ) K Y Y = E [ ( Y − E [ Y ] ) ( Y − E [ Y ] ) Т ] = 1 2 Re ( K Z Z − J Z Z ) { displaystyle { begin {align} & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} (- operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z }} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} = operatorname {E} [ ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf { Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} = op eratorname {E} [( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm { T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} - operatorname {J} _ { mathbf { Z} mathbf {Z}}) end {выровнено}}} и наоборот
K Z Z = K Икс Икс + K Y Y + я ( K Y Икс − K Икс Y ) J Z Z = K Икс Икс − K Y Y + я ( K Y Икс + K Икс Y ) { displaystyle { begin {align} & operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} + operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} + i ( operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} - operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}) & operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} - operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} + i ( operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} + operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}}) end {выровнен}}} Матрица кросс-ковариаций и матрица псевдокросс-ковариаций
Определения В матрица кросс-ковариации между двумя комплексными случайными векторами Z , W { Displaystyle mathbf {Z}, mathbf {W}}
K Z W = cov [ Z , W ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( W − E [ W ] ) ЧАС ] = E [ Z W ЧАС ] − E [ Z ] E [ W ЧАС ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {W}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {H}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {H}]} (Уравнение 5 )
K Z W = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W п − E [ W п ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W п − E [ W п ] ) ¯ ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ¯ ] E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ¯ ] ⋯ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W п − E [ W п ] ) ¯ ] ] { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - имя оператора {E} [Z_ {2}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ { n}])}}] конец {bmatrix}}} И матрица псевдокросс-ковариаций определяется как:
J Z W = cov [ Z , W ¯ ] = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( W − E [ W ] ) Т ] = E [ Z W Т ] − E [ Z ] E [ W Т ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {W}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {T} ]} (Уравнение 6 )
J Z W = [ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ] E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 1 − E [ Z 1 ] ) ( W п − E [ W п ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ] E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z 2 − E [ Z 2 ] ) ( W п − E [ W п ] ) ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W 1 − E [ W 1 ] ) ] E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W 2 − E [ W 2 ] ) ] ⋯ E [ ( Z п − E [ Z п ] ) ( W п − E [ W п ] ) ] ] { displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {2 } - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {n} - имя оператора {E} [W_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {1} - operatorname {E } [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {1} - имя оператора {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n} ])] end {bmatrix}}} Некоррелированность Два сложных случайных вектора Z { displaystyle mathbf {Z}} W { displaystyle mathbf {W}} некоррелированный если
K Z W = J Z W = 0 { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = 0} Независимость
Два сложных случайных вектора Z = ( Z 1 , . . . , Z м ) Т { Displaystyle mathbf {Z} = (Z_ {1}, ..., Z_ {m}) ^ {T}} W = ( W 1 , . . . , W п ) Т { Displaystyle mathbf {W} = (W_ {1}, ..., W_ {n}) ^ {T}} независимый если
F Z , W ( z , ш ) = F Z ( z ) ⋅ F W ( ш ) для всех z , ш { displaystyle F _ { mathbf {Z, W}} ( mathbf {z, w}) = F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z}) cdot F _ { mathbf {W}} ( mathbf {w}) quad { text {для всех}} mathbf {z}, mathbf {w}} (Уравнение 7 )
куда F Z ( z ) { Displaystyle F _ { mathbf {Z}} ( mathbf {z})} F W ( ш ) { Displaystyle F _ { mathbf {W}} ( mathbf {w})} Z { displaystyle mathbf {Z}} W { displaystyle mathbf {W}} Уравнение 1 F Z , W ( z , ш ) { Displaystyle F _ { mathbf {Z, W}} ( mathbf {z, w})} Z { displaystyle mathbf {Z}} W { displaystyle mathbf {W}} Z ⊥ ⊥ W { Displaystyle mathbf {Z} перп ! ! ! перп mathbf {W}} Z { displaystyle mathbf {Z}} W { displaystyle mathbf {W}}
F Z 1 , … , Z м , W 1 , … , W п ( z 1 , … , z м , ш 1 , … , ш п ) = F Z 1 , … , Z м ( z 1 , … , z м ) ⋅ F W 1 , … , W п ( ш 1 , … , ш п ) для всех z 1 , … , z м , ш 1 , … , ш п { Displaystyle F_ {Z_ {1}, ldots, Z_ {m}, W_ {1}, ldots, W_ {n}} (z_ {1}, ldots, z_ {m}, w_ {1}, ldots, w_ {n}) = F_ {Z_ {1}, ldots, Z_ {m}} (z_ {1}, ldots, z_ {m}) cdot F_ {W_ {1}, ldots, W_ {n}} (w_ {1}, ldots, w_ {n}) quad { text {для всех}} z_ {1}, ldots, z_ {m}, w_ {1}, ldots, w_ {n}} Круговая симметрия
Определение Сложный случайный вектор Z { displaystyle mathbf {Z}} φ ∈ [ − π , π ) { displaystyle varphi in [- pi, pi)} е я φ Z { Displaystyle е ^ { mathrm {я} varphi} mathbf {Z}} Z { displaystyle mathbf {Z}} [3] :стр. 500–501
Характеристики Математическое ожидание комплексных случайных векторов с круговой симметрией либо равно нулю, либо не определено.[3] :п. 500 Матрица псевдоковариации циркулярно-симметричных комплексных случайных векторов равна нулю.[3] :п. 584 Правильные комплексные случайные векторы
Определение Сложный случайный вектор Z { displaystyle mathbf {Z}} правильный если выполнены все три следующих условия:[1] :п. 293
E [ Z ] = 0 { Displaystyle OperatorName {E} [ mathbf {Z}] = 0} вар [ Z 1 ] < ∞ , … , вар [ Z п ] < ∞ { displaystyle operatorname {var} [Z_ {1}] < infty, ldots, operatorname {var} [Z_ {n}] < infty} E [ Z Z Т ] = 0 { Displaystyle OperatorName {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] = 0} Два сложных случайных вектора Z , W { Displaystyle mathbf {Z}, mathbf {W}} совместно правильно - составной случайный вектор ( Z 1 , Z 2 , … , Z м , W 1 , W 2 , … , W п ) Т { displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, ldots, Z_ {m}, W_ {1}, W_ {2}, ldots, W_ {n}) ^ {T}}
Характеристики Сложный случайный вектор Z { displaystyle mathbf {Z}} c ∈ C п { displaystyle mathbf {c} in mathbb {C} ^ {n}} c Т Z { Displaystyle mathbf {c} ^ {T} mathbf {Z}} [1] :п. 293 Правильны линейные преобразования собственных комплексных случайных векторов, т. Е. Если Z { displaystyle mathbf {Z}} п { displaystyle n} А { displaystyle A} м × п { Displaystyle м раз п} А Z { displaystyle A mathbf {Z}} [1] :п. 295 Каждый циркулярно-симметричный комплексный случайный вектор с конечной дисперсией всех его компонентов является собственным.[1] :п. 295 Существуют правильные комплексные случайные векторы, которые не являются циркулярно симметричными.[1] :п. 504 Настоящий случайный вектор является правильным тогда и только тогда, когда он постоянен. Два совместно правильных комплексных случайных вектора некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица ковариации равна нулю, т.е. если K Z W = 0 { displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = 0} Неравенство Коши-Шварца
В Неравенство Коши-Шварца для сложных случайных векторов
| E [ Z ЧАС W ] | 2 ≤ E [ Z ЧАС Z ] E [ | W ЧАС W | ] { displaystyle left | operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H} mathbf {W}] right | ^ {2} leq operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H } mathbf {Z}] operatorname {E} [| mathbf {W} ^ {H} mathbf {W} |]} Характеристическая функция
В характеристическая функция сложного случайного вектора Z { displaystyle mathbf {Z}} п { displaystyle n} C п → C { displaystyle mathbb {C} ^ {n} to mathbb {C}} [1] :п. 295
φ Z ( ω ) = E [ е я ℜ ( ω ЧАС Z ) ] = E [ е я ( ℜ ( ω 1 ) ℜ ( Z 1 ) + ℑ ( ω 1 ) ℑ ( Z 1 ) + ⋯ + ℜ ( ω п ) ℜ ( Z п ) + ℑ ( ω п ) ℑ ( Z п ) ) ] { Displaystyle varphi _ { mathbf {Z}} ( mathbf { omega}) = operatorname {E} left [е ^ {я Re {( mathbf { omega} ^ {H} mathbf {Z})}} right] = operatorname {E} left [e ^ {i ( Re {( omega _ {1})} Re {(Z_ {1})} + Im {( omega _ {1})} Im {(Z_ {1})} + cdots + Re {( omega _ {n})} Re {(Z_ {n})} + Im {( омега _ {n})} Im {(Z_ {n})})} right]} Смотрите также
Рекомендации
^ а б c d е ж грамм час я j Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5 ^ Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 ^ а б c Це, Дэвид (2005). Основы беспроводной связи . Издательство Кембриджского университета. 
![{ Displaystyle F _ { mathbf {Z}}: mathbb {C} ^ {n} mapsto [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8661e6d29a4d779324e5c3978506838f8c244b65)
![{ displaystyle operatorname {E} [ mathbf {Z}] = ( operatorname {E} [Z_ {1}], ldots, operatorname {E} [Z_ {n}]) ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bad8687a134b34189596765316018f79fdca495)
![{ displaystyle { begin {align} & operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {Z}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {H} ] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H }] [12pt] end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd5472da7a2129480754c26bf1527c36e0e1aef)
![{ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - имя оператора {E} [Z_ {2}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ { n}])}}] конец {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445eafa0ab8d1d761c1c34d3bb993b4598ec4b15)
![{ displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {Z}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {T} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073e290548d019170600567c2a29b7feaaf98a51)
![{ displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {2 } - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (Z_ {n} - имя оператора {E} [Z_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {1} - operatorname {E } [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {1} - имя оператора {E} [Z_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n} ])] end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50248ec68758163e693b5fa474537f0d953110ee)
![{ displaystyle { begin {align} & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {X}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} = operatorname {E} [( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} (- operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z }} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {X}} = operatorname {E} [ ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {X} - operatorname {E} [ mathbf {X}]) ^ { mathrm {T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Im} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} + operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf { Z}}) & operatorname {K} _ { mathbf {Y} mathbf {Y}} = op eratorname {E} [( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ( mathbf {Y} - operatorname {E} [ mathbf {Y}]) ^ { mathrm { T}}] = { tfrac {1} {2}} operatorname {Re} ( operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {Z}} - operatorname {J} _ { mathbf { Z} mathbf {Z}}) end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3067c56dfb03faec313d1cd2dbf2258779bedc)
![{ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, mathbf {W}] = operatorname {E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {H}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {H}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {H}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9844313bcca0b6e7e67e2c61bae3559a8714b4e4)
![{ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])}}] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E } [Z_ {2}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - имя оператора {E} [Z_ {2}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])}}] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}] )}}] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}] )}}] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) { overline {(W_ {n} - operatorname {E} [W_ { n}])}}] конец {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9941690a38b08ff9f3b9be4bd1de0bb2fb9a67b5)
![{ displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = operatorname {cov} [ mathbf {Z}, { overline { mathbf {W}}}] = operatorname { E} [( mathbf {Z} - operatorname {E} [ mathbf {Z}]) {( mathbf {W} - operatorname {E} [ mathbf {W}])} ^ {T}] = operatorname {E} [ mathbf {Z} mathbf {W} ^ {T}] - operatorname {E} [ mathbf {Z}] operatorname {E} [ mathbf {W} ^ {T} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6a151a8db17da379cb32babce0e737bca9a8b9)
![{ displaystyle operatorname {J} _ { mathbf {Z} mathbf {W}} = { begin {bmatrix} mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1} ]) (W_ {1} - operatorname {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {2 } - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {1} - operatorname {E} [Z_ {1}]) (W_ {n} - имя оператора {E} [W_ {n}])] \ mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {1} - operatorname {E } [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2} ])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {2} - operatorname {E} [Z_ {2}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n}])] \ vdots & vdots & ddots & vdots \ mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {1} - имя оператора {E} [W_ {1}])] & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {2} - operatorname {E} [W_ {2}])] & cdots & mathrm {E} [(Z_ {n} - operatorname {E} [Z_ {n}]) (W_ {n} - operatorname {E} [W_ {n} ])] end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fc2c9717f84911d95a271d7ca87595b185cc5)
![{ Displaystyle OperatorName {E} [ mathbf {Z}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d136e6dc4d72ba213940846421b1f8c00160bc8d)
![{ displaystyle operatorname {var} [Z_ {1}] < infty, ldots, operatorname {var} [Z_ {n}] < infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca262a1fa11c0e897e89da432119076df0575dc4)
![{ Displaystyle OperatorName {E} [ mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {T}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e567ff4fa3785973cc8d53106ec6a0e075d969e9)
![{ displaystyle left | operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H} mathbf {W}] right | ^ {2} leq operatorname {E} [ mathbf {Z} ^ {H } mathbf {Z}] operatorname {E} [| mathbf {W} ^ {H} mathbf {W} |]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6675b4efe08db65ef119042110564db71520472)
![{ Displaystyle varphi _ { mathbf {Z}} ( mathbf { omega}) = operatorname {E} left [е ^ {я Re {( mathbf { omega} ^ {H} mathbf {Z})}} right] = operatorname {E} left [e ^ {i ( Re {( omega _ {1})} Re {(Z_ {1})} + Im {( omega _ {1})} Im {(Z_ {1})} + cdots + Re {( omega _ {n})} Re {(Z_ {n})} + Im {( омега _ {n})} Im {(Z_ {n})})} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ef4b68890cb6b51eea0081d9a757a4c9f88849)