WikiDer > Компьютер для работы с функциями

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Май 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья ведущий раздел не адекватно подвести итог ключевые моменты его содержания. Пожалуйста, подумайте о расширении интереса до предоставить доступный обзор обо всех важных аспектах статьи. (Май 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А компьютер для работы с (математическими) функциями (в отличие от обычного компьютер) работает с функции на аппаратное обеспечение уровень (т.е. без программирования этих операций).^[1][2][3]

История

Вычислительная машина для операций с функциями была представлена ​​и разработана Михаилом Карцевым в 1967 году.^[1] Среди операций этой вычислительной машины были функции сложения, вычитания и умножения, сравнение функций, те же операции между функцией и числом, нахождение максимума функции, вычисление неопределенный интеграл, вычисление определенный интеграл из производная двух функций, производная двух функций, сдвиг функции по оси X и т. д. архитектура эта вычислительная машина была (используя современную терминологию) векторный процессор или же процессор массива, а центральное процессорное устройство (CPU), который реализует набор инструкций, содержащий инструкции, которые работают с одномерные массивы данных, называемых векторов. В нем был использован тот факт, что многие из этих операций можно интерпретировать как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций - как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла производной двух функций - как вычисление векторного произведения двух векторов, сдвиг функции по оси X - как вращение вектора вокруг осей и т. д.^[1] В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций,^[2] т.е. представление функций "единым" (для функции в целом) позиционным кодом. Таким образом, указанные операции с функциями выполняются как уникальные компьютерные операции с такими кодами на «единственном». арифметический блок.^[3]

Позиционные коды функций одной переменной ^[2][3]

Главная идея

Позиционный код целого числа ${ displaystyle A}$ числовое обозначение цифр ${ displaystyle alpha}$ в определенном позиционная система счисления формы

${ displaystyle A = alpha _ {0} alpha _ {1} dots alpha _ {k} dots alpha _ {n}}$.

Такой код можно назвать «линейным». В отличие от него позиционный код с одной переменной ${ displaystyle x}$ функция ${ Displaystyle F (х)}$ имеет вид:

${ Displaystyle F (x) = { begin {pmatrix} & & cdots & & alpha _ {22} cdots alpha _ {2k} cdots & alpha _ { 11} & alpha _ {12} cdots alpha _ {1k} cdots alpha _ {00} & alpha _ {01} & alpha _ {02} cdots alpha _ {0k} cdots end {pmatrix}}}$

и так оно и есть плоский и «треугольный», поскольку цифры в нем образуют треугольник.

Значение позиционного числа ${ displaystyle A}$ выше это сумма

${ Displaystyle А = сумма _ {к = 0} ^ {п} альфа _ {к} ро ^ {к}}$,

куда ${ displaystyle rho}$ является основанием указанной системы счисления. Позиционный код функции с одной переменной соответствует двойному коду вида

${ Displaystyle F (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} sum _ {m = 0} ^ {k} alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {km} (1 -y) ^ {m}}$,

куда ${ displaystyle R}$ целое положительное число, количество принятых значений ${ displaystyle alpha}$, и ${ displaystyle y}$ определенная функция аргумента ${ displaystyle x}$.

Добавление позиционных кодов чисел связано с нести перевод в старшую цифру по схеме

${ displaystyle alpha _ {k} longrightarrow alpha _ {k + 1}}$.

Добавление позиционных кодов функций одной переменной также связано с переносом переноса в старшие разряды по схеме:

${ displaystyle { begin {pmatrix} & alpha _ {k + 1, m + 1} nearrow & alpha _ {k, m} longrightarrow & alpha _ {k + 1, m} end {pmatrix}}}$.

Здесь одна и та же передача осуществляется одновременно в два высшие цифры.

р-нарный треугольный код

Треугольный код называется R-нет (и обозначается как ${ displaystyle TK_ {R}}$), если числа ${ displaystyle alpha _ {mk}}$ берут их значения из множества

${ displaystyle D_ {R} = {- r_ {1}, - r_ {1} +1, dots, -1,0,1, dots, r_ {2} -1, r_ {2} } }$, куда ${ Displaystyle r_ {1}, ; r_ {2} geq 0}$ и ${ displaystyle R _ {} ^ {} = r_ {1} + r_ {2} +1}$.

Например, треугольный код - это троичный код. ${ displaystyle TK_ {3}}$, если ${ displaystyle alpha _ {mk} in (-1,0,1)}$, и четвертичный ${ displaystyle TK_ {4}}$, если ${ displaystyle alpha _ {mk} in (-2, -1,0,1)}$.
За р-нарных треугольных кодов справедливы следующие равенства:

${ displaystyle { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & a end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & -a end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} & 0 nearrow & 0 longrightarrow & a end { pmatrix}} = { begin {pmatrix} & -a nearrow & aR longrightarrow & 0 end {pmatrix}}}$,

куда ${ displaystyle a}$ - произвольное число. Существует ${ displaystyle TK_ {R}}$ произвольного целого действительного числа. Особенно, ${ Displaystyle TK_ {R} ( альфа) = альфа}$. Также существует ${ displaystyle TK_ {R}}$ любой функции вида ${ Displaystyle у ^ {к}}$. Например, ${ Displaystyle TK_ {R} (у ^ {2}) = (0 0 1)}$.

Однозначное сложение

в R-нарных треугольных кодах состоит в следующем:

• в данном ${ Displaystyle (мк)}$-цифра определяется сумма ${ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ цифр, которые добавляются ${ displaystyle alpha _ {mk}, beta _ {mk}}$ и два носителя ${ Displaystyle р_ {м, к-1}, р_ {м-1, к-1}}$, переводится в эту цифру слева, т.е.

${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} + beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}$,

• эта сумма представлена ​​в виде ${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$, куда ${ displaystyle sigma _ {mk} in D_ {R}}$,
• ${ displaystyle sigma _ {mk}}$ написано в ${ Displaystyle (мк)}$-цифра сводного кода и перенос ${ displaystyle p_ {mk}}$ из данной цифры переводится в ${ Displaystyle (м, к + 1)}$-цифра и ${ Displaystyle (м + 1, к + 1)}$- цифра.

Эта процедура описывается (как и для однозначного сложения чисел) таблицей однозначного сложения, где все значения членов ${ displaystyle alpha _ {mk} in D_ {R}}$ и ${ displaystyle beta _ {mk} in D_ {R}}$ должны присутствовать и все значения переносов, появляющиеся при разложении суммы ${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$. Такую таблицу можно синтезировать для ${ displaystyle R> 2.}$
Ниже мы написали таблицу однозначного сложения для ${ Displaystyle R = 3}$:

Smk	ТЗ(Smk)		${ displaystyle sigma _ {mk} ^ {}}$	${ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Вычитание одной цифры

в R-ных треугольных кодах отличается от однозначного сложения только тем, что в данном ${ Displaystyle (мк)}$-цифровать значение ${ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ определяется по формуле

${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} - beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}$.

Однозначное деление по параметру R

в R-образных треугольных кодах основывается на использовании корреляции:

${ displaystyle { begin {pmatrix} & a nearrow & 0 longrightarrow & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & 0 nearrow & aR longrightarrow & -a end {pmatrix}}}$,

из этого следует, что деление каждой цифры причин переводит на две младшие цифры. Следовательно, цифры, полученные в результате этой операции, представляют собой сумму частного от деления этой цифры на R и двух переносов из двух старших цифр. Таким образом, при делении на параметр R

• в данном ${ Displaystyle (мк)}$-цифра определяется следующая сумма

${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = alpha _ {mk} / R-p_ {m + 1, k} / R + p_ {m + 1, k + 1}}$,

• эта сумма представлена ​​как ${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$, куда ${ displaystyle sigma _ {mk} in D_ {R}}$,
• ${ displaystyle sigma _ {mk}}$ написано в ${ Displaystyle (мк)}$- цифра результирующего кода и перенос ${ displaystyle p_ {mk}}$ из данной цифры переводится в ${ Displaystyle (м-1, к-1)}$-цифра и ${ Displaystyle (м-1, к)}$-цифра.

Эта процедура описывается таблицей однозначного деления по параметру R, где все значения термов и все значения переносов, появляющиеся при разложении суммы ${ Displaystyle S_ {mk} ^ {} = sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$, должен присутствовать. Такую таблицу можно синтезировать для ${ displaystyle R> 2.}$
Ниже в таблице приводится однозначное деление по параметру R для ${ Displaystyle R = 3}$:

Smk	ТЗ(Smk)		${ displaystyle sigma _ {mk} ^ {}}$	${ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание

R-мерных треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) из последовательно выполняемых однозначных операций. Помните, что однозначные операции со всеми цифрами каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-нарных треугольных кодов. Умножение кода ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ к ${ Displaystyle (мк)}$-цифра другого кода ${ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$ состоит в ${ Displaystyle (мк)}$-сдвиг кода ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$, т.е. сдвигает k столбцов влево и m строк вверх. Умножение кодов ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ и ${ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$ состоит в последующих ${ Displaystyle (мк)}$-сдвиги кода ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ и добавление сдвинутого кода ${ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ с деталью-продуктом (как в позиционных кодах чисел).

Вывод

R-нарных треугольных кодов. Производная функции ${ Displaystyle F (х)}$, определенный выше, является

${ Displaystyle { frac { partial F (x)} { partial x}} = { frac { partial y} { partial x}} { frac { partial F (x)} { partial y }}}$.

Таким образом, вывод треугольных кодов функции ${ Displaystyle F (х)}$ состоит в определении треугольного кода частной производной ${ displaystyle { frac { partial F (x)} { partial y}}}$ и его умножение на известный треугольный код производной ${ displaystyle { frac { partial y} { partial x}}}$. Определение треугольного кода частной производной ${ displaystyle { frac { partial F (x)} { partial y}}}$ основан на соотношении

${ displaystyle { frac { partial} { partial x}} { begin {pmatrix} & & 0 & 0 & alpha _ {mk} 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} = { begin { pmatrix} & & (km) alpha _ {mk} & 0 & (k-2m) alpha _ {mk} 0 & 0 & (- m) alpha _ {mk} end {pmatrix}}}$.

Метод вывода состоит из организации переносов из mk-разряда в (m + 1, k) -цифру и в (m-1, k) -цифру, и их суммирование в данной цифре выполняется так же, как и в однозначной. сложение цифр.

Кодирование и декодирование

R-нарных треугольных кодов. Функция, представленная серией вида

${ Displaystyle F (x) = сумма _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} y ^ {k}}$,

с целыми коэффициентами ${ displaystyle A_ {k}}$, могут быть представлены R-образными треугольными кодами, для этих коэффициентов и функций ${ Displaystyle у ^ {к}}$ имеют R-ные треугольные коды (о чем упоминалось в начале раздела). С другой стороны, R-мерный треугольный код может быть представлен упомянутой серией, так как любой член ${ Displaystyle альфа _ {mk} R ^ {k} y ^ {k} (1-y) ^ {m}}$ в позиционном разложении функции (соответствующей этому коду) может быть представлен аналогичным рядом.

Усечение

R-нарных треугольных кодов. Так называется операция по уменьшению количества «ненулевых» столбцов. Необходимость усечения возникает при появлении переносов за пределы цифровой сети. Усечение заключается в делении на параметр R. Все коэффициенты ряда, представленного кодом, уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Также отбрасывается первый член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций сходятся. Усечение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления по параметру R. Однозначные операции над всеми цифрами строки выполняются одновременно, а переносы из нижней строки отбрасываются.

Масштаб

R-мерный треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным экспоненте для числа с плавающей запятой. Коэффициент M позволяет отображать все коэффициенты кодированного ряда в виде целых чисел. Фактор M умножается на R при усечении кода. Чтобы дополнительные коэффициенты M были выровнены, для этого необходимо усечь один из добавленных кодов. Для умножения множители M также умножаются.

Позиционный код для функций многих переменных ^[4]

Позиционный код функции двух переменных изображен на рисунке 1. Он соответствует «тройной» сумме вида: ${ displaystyle F (x, v) = sum _ {k = 0} ^ {n} sum _ {m1 = 0} ^ {k} sum _ {m2 = 0} ^ {k} alpha _ { m1, m2, k} R ^ {k} y ^ {k-m1} (1-y) ^ {m1} z ^ {k-m2} (1-z) ^ {m2}}$,
куда ${ displaystyle R}$ - целое положительное число, количество значений числа ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$, и ${ Displaystyle у (х), ~ z (v)}$ - определенные функции аргументов ${ displaystyle x, ~ v}$ соответственно. На рисунке 1 узлы соответствуют цифрам ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$, а в кружках значения индексов ${ displaystyle {m1, m2, k}}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух переменных называется пирамидальным. Позиционный код называется R-nary (и обозначается как ${ displaystyle PK_ {R}}$), если числа ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, k}}$ принять значения из набора ${ displaystyle D_ {R}}$. При добавлении кодов ${ displaystyle PK_ {R}}$ перенос продолжается до четырех цифр и, следовательно, ${ displaystyle R geq 7}$.

Позиционный код функции от нескольких переменных соответствует сумме вида

${ Displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {i}, ldots, x_ {a}) = sum _ {k = 0} ^ {n} sum _ {m_ {1} = 0} ^ {k} ldots sum _ {m_ {a} = 0} ^ {k} ( alpha _ {m_ {1}, ldots, m_ {a}, k} R ^ {k} prod _ { i = 1} ^ {a} (y_ {i} ^ {k-m_ {i}} (1-y_ {i}) ^ {m_ {i}}))}$,

куда ${ displaystyle R}$ целое положительное число, количество значений цифры ${ Displaystyle альфа _ {м_ {1}, ldots, м_ {а}, к}}$, и ${ Displaystyle у_ {я} (х_ {я})}$ определенные функции аргументов ${ displaystyle x_ {i}}$. Позиционный код функции нескольких переменных называется «гиперпирамидальным». На рисунке 2 изображен, например, позиционный гиперпирамидальный код функции трех переменных. На нем узлы соответствуют цифрам ${ displaystyle alpha _ {m1, m2, m3, k}}$, а кружки содержат значения индексов ${ displaystyle {m1, m2, m3, k}}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-нарным (и обозначается как ${ displaystyle GPK_ {R}}$), если числа ${ Displaystyle альфа _ {м_ {1}, ldots, м_ {а}, к}}$ принять значения из набора ${ displaystyle D_ {R}}$. При добавлении кодов ${ displaystyle GPK_ {R}}$ перенос распространяется на а-мерный куб, содержащий ${ Displaystyle 2 ^ {а}}$ цифры, а значит ${ Displaystyle R geq (2 ^ {а-1} -1)}$.

Смотрите также

• Аппаратное ускорение
• Цифровой сигнальный процессор

Рекомендации