WikiDer > Вогнутая функция
В математика, а вогнутая функция это отрицательный из выпуклая функция. Вогнутая функция также синонимично называется вогнуть вниз, вогнуться, выпуклый вверх, выпуклая крышка или же верхняя выпуклая.
Определение
Ценный функция на интервал (или, в более общем смысле, выпуклый набор в векторное пространство) называется вогнутый если для любого и в интервале и для любого ,[1]
Функция называется строго вогнутый если
для любого и .
Для функции , это второе определение просто утверждает, что для каждого строго между и , смысл на графике находится над прямой, соединяющей точки и .
Функция является квазивогнутый если верхний контур задает функцию - выпуклые множества.[2]
Характеристики
Функции одной переменной
1. А дифференцируемая функция ж является (строго) вогнутым на интервал если и только если это производная функция f ′ (строго) монотонно убывающий на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающую (убывающую) склон.[3][4]
2. Точки где вогнутость изменяется (между вогнутой и выпуклый) находятся точки перегиба.[5]
3. Если ж дважды-дифференцируемый, тогда ж вогнутая если и только если f ′ ′ является неположительный (или, неофициально, если "ускорение"неположительно). Если его вторая производная равна отрицательный тогда он строго вогнутый, но обратное неверно, как показано ж(Икс) = −Икс4.
4. Если ж вогнутая и дифференцируемая, то она ограничена сверху своим первым порядком Приближение Тейлора:[2]
5. А Измеримая функция Лебега на интервале C вогнутая если и только если это вогнутая середина, то есть для любого Икс и у в C
6. Если функция ж вогнутая, и ж(0) ≥ 0, тогда ж является субаддитив на . Доказательство:
- С ж вогнутая и 1 ≥ т ≥ 0, позволяя у = 0 у нас есть
- За :
Функции п переменные
1. Функция ж вогнута над выпуклым множеством если и только если функция −f это выпуклая функция по набору.
2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе вогнута, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т. Е. Набор вогнутых функций в данной области образует полуполе.
3. Рядом с локальный максимум внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; наоборот, если производная строго вогнутой функции равна нулю в некоторой точке, то эта точка является локальным максимумом.
4. Любые локальный максимум вогнутой функции также является глобальный максимум. А строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.
Примеры
- Функции и вогнуты на своих доменах, так как их вторые производные и всегда отрицательны.
- В логарифм функция вогнутая в своей области , как его производная - строго убывающая функция.
- Любой аффинная функция одновременно вогнутая и выпуклая, но не строго вогнутая или строго выпуклая.
- В синус функция вогнута на интервале .
- Функция , куда это детерминант из неотрицательно-определенная матрица B, вогнутая.[6]
Приложения
- Лучи изгибаются в расчет ослабления радиоволн в атмосфере включают вогнутые функции.
- В ожидаемая полезность теория для выбор в условиях неопределенности, кардинальная полезность функции не рисковать лица, принимающие решения, вогнуты.
- В микроэкономическая теория, производственные функции обычно считаются вогнутыми на некоторых или всех своих доменах, что приводит к убывающая отдача к входным факторам.[7]
Смотрите также
- Вогнутый многоугольник
- Неравенство Дженсена
- Логарифмически вогнутая функция
- Квазивогнутая функция
- Вогнутость
Рекомендации
- ^ Lenhart, S .; Уоркман, Дж. Т. (2007). Оптимальный контроль, применяемый к биологическим моделям. Серия математической и вычислительной биологии. Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
- ^ а б Вариан, Хэл Р. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Нортон. п. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Анализ. п. 101.
- ^ Градштейн, И. С .; Рыжик, И. М .; Хейс, Д. Ф. (1976-07-01). «Таблица интегралов, серий и продуктов». Журнал смазочных технологий. 98 (3): 479. Дои:10.1115/1.3452897. ISSN 0022-2305.
- ^ Хасс, Джоэл (13 марта 2017 г.). Исчисление Томаса. Хайль, Кристофер, 1960-, Вейр, Морис Д., Томас, Джордж Б., младший (Джордж Бринтон), 1914-2006. (Четырнадцатое изд.). [Соединенные Штаты]. п. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428.
- ^ Обложка, Томас М.; Томас, Дж. А. (1988). «Детерминантные неравенства через теорию информации». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 9 (3): 384–392. Дои:10.1137/0609033. S2CID 5491763.
- ^ Пембертон, Малькольм; Рау, Николай (2015). Математика для экономистов: Вводный учебник. Издательство Оксфордского университета. С. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.
Дальнейшие ссылки
- Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость». В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. Дои:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
- Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика. Джон Уайли и сыновья. п. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.