WikiDer > Конус (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии a конус является обобщением векторный набор. В частности, учитывая схему Икс, то относительная спецификация

${ displaystyle C = operatorname {Spec} _ {X} R}$

квазикогерентного градуированного О_Икс-алгебра р называется конус или же аффинный конус из р. Точно так же относительный проект

${ displaystyle mathbb {P} (C) = operatorname {Proj} _ {X} R}$

называется проективный конус из C или же р.

Примечание: Конус поставляется с ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$-действие из-за оценка из р; это действие является частью данных конуса (отсюда и терминология).

Примеры

• Если Икс = Спецификация k это точка и р это однородное координатное кольцо, то аффинный конус р это (обычно) аффинный конус над проективным многообразием, соответствующим р.
• Если ${ Displaystyle R = bigoplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ для какой-то идеальной связки я, тогда ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} R}$ это нормальный конус по замкнутой схеме, определяемой я.
• Если ${ Displaystyle R = bigoplus _ {0} ^ { infty} L ^ { otimes n}}$ для некоторого линейного пакета L, тогда ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} R}$ это полное пространство двойственного к L.
• В более общем смысле, учитывая векторное расслоение (локально свободный пучок конечного ранга) E на Икс, если р= Sym (E^*) - симметрическая алгебра, порожденная двойственной к E, то конус ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} R}$ это общая площадь E, часто пишется как E, а проективный конус ${ displaystyle operatorname {Proj} _ {X} R}$ это проективный пучок из E, который записывается как ${ Displaystyle mathbb {P} (E)}$.
• Позволять ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ быть связным пучком на Стек Делин-Мамфорд Икс. Тогда пусть ${ displaystyle C ({ mathcal {F}}): = operatorname {Spec} _ {X} ( operatorname {Sym} ({ mathcal {F}})).}$^[1] Для любого ${ displaystyle f: T to X}$, поскольку глобальный Spec является правым сопряженным функтором прямого изображения, мы имеем: ${ displaystyle C ({ mathcal {F}}) (T) = operatorname {Hom} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ( operatorname {Sym} ({ mathcal {F}} ), f _ {*} { mathcal {O}} _ {T})}$; особенно, ${ Displaystyle С ({ mathcal {F}})}$ коммутативная групповая схема над Икс.
• Позволять р быть оцененным ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-алгебра такая, что ${ Displaystyle R_ {0} = { mathcal {O}} _ {X}}$ и ${ displaystyle R_ {1}}$ согласован и локально генерирует р в качестве ${ displaystyle R_ {0}}$-алгебра. Затем идет закрытое погружение

${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} R hookrightarrow C (R_ {1})}$

данный ${ displaystyle operatorname {Sym} (R_ {1}) to R}$. Из-за этого, ${ displaystyle C (R_ {1})}$ называется абелевой оболочкой конуса ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} R.}$ Например, если ${ displaystyle R = oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ для какой-то идеальной связки я, то это вложение есть вложение нормального конуса в нормальное расслоение.

Расчеты

Рассмотрим идеал полного пересечения ${ displaystyle (е, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}) subset mathbb {C} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ и разреши ${ displaystyle X}$ - проективная схема, определяемая пучком идеалов ${ Displaystyle { mathcal {I}} = (е) (g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}$. Тогда имеем изоморфизм ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}}}$-алгебры задаются^{[нужна цитата]}

${ displaystyle bigoplus _ {n geq 0} { frac {{ mathcal {I}} ^ {n}} {{ mathcal {I}} ^ {n + 1}}} cong { frac { { mathcal {O}} _ {X} [a, b, c]} {(g_ {2} a-g_ {1} b, g_ {3} a-g_ {1} c, g_ {3} b -g_ {2} c)}}}$

Характеристики

Если ${ displaystyle S to R}$ является градуированным гомоморфизмом градуированных О_Икс-алгебр, то получается индуцированный морфизм между конусами:

${ displaystyle C_ {R} = operatorname {Spec} _ {X} R to C_ {S} = operatorname {Spec} _ {X} S}$.

Если гомоморфизм сюръективен, то получаются замкнутые погружения ${ displaystyle C_ {R} hookrightarrow C_ {S}, , mathbb {P} (C_ {R}) hookrightarrow mathbb {P} (C_ {S}).}$

В частности, если предположить р₀ = О_Икс, конструкция применяется к проекции ${ Displaystyle R = R_ {0} oplus R_ {1} oplus cdots to R_ {0}}$ (что является карта аугментации) и дает

${ displaystyle sigma: X hookrightarrow C_ {R}}$.

Это раздел; т.е. ${ Displaystyle X { overset { sigma} { to}} C_ {R} to X}$ является тождественным и называется вложением нулевого сечения.

Рассмотрим градуированную алгебру р[т] с переменной т имеющий степень один: явно ппьеса -й степени

${ Displaystyle R_ {n} oplus R_ {n-1} t oplus R_ {n-2} t ^ {2} oplus cdots oplus R_ {0} t ^ {n}}$.

Тогда его аффинный конус обозначается через ${ Displaystyle C_ {R [t]} = C_ {R} oplus 1}$. Проективный конус ${ Displaystyle mathbb {P} (C_ {R} oplus 1)}$ называется проективное завершение из C_р. Действительно, нулевой геометрический т = 0 точно ${ Displaystyle mathbb {P} (C_ {R})}$ а дополнение - это открытая подсхема C_р. Локус т = 0 называется гиперплоскостью на бесконечности.

О(1)

Позволять р быть квазикогерентным градуированным О_Икс-алгебра такая, что р₀ = О_Икс и р локально генерируется как О_Икс-алгебра р₁. Тогда по определению проективный конус р является:

${ Displaystyle mathbb {P} (C) = operatorname {Proj} _ {X} R = varinjlim Operatorname {Proj} (R (U))}$

где копредел пробегает открытые аффинные подмножества U из Икс. По предположению р(U) имеет конечное число образующих первой степени Икс_яс. Таким образом,

${ displaystyle operatorname {Proj} (R (U)) hookrightarrow mathbb {P} ^ {r} times U.}$

потом ${ displaystyle operatorname {Proj} (R (U))}$ имеет линейный пакет О(1) дано пучок гиперплоскостей ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {r}} (1)}$ из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {r}}$; приклеивание таких местных О(1), которые согласуются локально, дают линейное расслоение О(1) на ${ displaystyle mathbb {P} (C)}$.

Для любого целого числа п, также пишут О(п) для п-я тензорная степень О(1). Если конус C= Спецификация_Икср это полное пространство векторного расслоения E, тогда О(-1) - это пучок тавтологических линий на проективный пучок п(E).

Замечание: Когда (локальные) генераторы р имеют степень отличную от единицы, конструкция О(1) все еще проходит, но с взвешенное проективное пространство вместо проективного пространства; так что в результате О(1) не обязательно является линейным расслоением. На языке делитель, это О(1) соответствует Q-Делитель Картье.

Примечания

Рекомендации

Конспект лекций

• Фантечи, Барбара, Введение в теорию пересечений (PDF)

Ссылка

• Behrend, K .; Фантечи, Б. (1997-03-01). «Внутренний нормальный конус». Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. Дои:10.1007 / s002220050136. ISSN 0020-9910.
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, МИСТЕР 1644323
• § 8 Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 8. Дои:10.1007 / bf02699291. МИСТЕР 0217084.