WikiDer > Конвей группа Co2

Conway group Co2

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Конвей группа Co2 это спорадическая простая группа из порядок

   218 · 36 · 53 ·· 11 · 23
= 42305421312000
≈ 4×1013.

История и свойства

Co2 является одной из 26 спорадических групп и была открыта (Конвей 1968, 1969) как группа автоморфизмов из Решетка пиявки Λ, фиксирующий вектор решетки тип 2. Таким образом, это подгруппа Co0. Он изоморфен подгруппе Co1. Прямое произведение 2 × Co2 максимальна в Co0.

В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

Представления

Co2 действует как группа перестановок ранга 3 на 2300 баллов. Эти точки можно отождествить с плоскими шестиугольниками в решетке Пиявки, имеющей 6 вершин типа 2.

Co2 действует на 23-мерную четную целочисленную решетку без корней определителя 4, заданную как подрешетка решетки Лич, ортогональная вектору нормы 4. Над полем с 2 элементами он имеет точное 22-мерное представление; это наименьшее точное представление любого поля.

Feit (1974) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится либо в Z/2Z × Co2 или же Z/2Z × Co3.

В Группа Матье M23 изоморфна максимальной подгруппе в Co2 и одно представление в матрицах перестановок фиксирует вектор типа 2 ты = (-3,123). Блочная сумма ζ инволюции η =

и 5 копий -η также фиксируют тот же вектор. Следовательно, Co2 имеет удобное матричное представление внутри стандартного представления Co0. След элемента ζ равен -8, а инволюции из M23 есть след 8.

24-мерная блочная сумма η и -η находится в Co0 тогда и только тогда, когда число копий η нечетно.

Другое представление фиксирует вектор v = (4,-4,022). Мономиальная и максимальная подгруппа включает представление группы M22: 2, где любое α, меняющее местами первые 2 координаты, восстанавливает v путем отрицания вектора. Также включены диагональные инволюции, соответствующие октадам (трасса 8), 16-наборам (трасса -8) и додекадам (трасса 0). Можно показать, что Co2 имеет всего 3 класса сопряженности инволюций. η оставляет (4, -4,0,0) без изменений; блочная сумма ζ обеспечивает немономиальный генератор, завершающий это представление Co2.

Есть альтернативный способ построить стабилизатор v. Сейчас же ты и ты+v = (1,-3,122) являются вершинами треугольника 2-2-2 (см. ниже). потом ты, ты+v, v, а их отрицания образуют копланарный шестиугольник, закрепленный ζ и M22; они создают группу Fi21 ≈ U6(2). α (см. выше) расширяет это до Fi21: 2, который максимален в Co2. Наконец, Co0 транзитивна по точкам типа 2, так что 23-тактная фиксация ты имеет сопряженную фиксацию v, и генерация завершена.

Максимальные подгруппы

Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают двумерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяют как h-k-l треугольники: треугольники, включая начало координат в качестве вершины, а ребра (разности вершин) являются векторами типов h, k и l.

Уилсон (2009) найдено 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы Co2 следующее:

  • Fi21: 2 ≈ U6(2): 2 - группа симметрии / отражения копланарного шестиугольника из 6 точек типа 2. Исправляет один шестиугольник в перестановочном представлении ранга 3 группы Co2 на 2300 таких шестиугольников. В этой подгруппе шестиугольники разбиты на орбиты 1, 891 и 1408. Fi21 исправляет треугольник 2-2-2, определяющий плоскость.
  • 210:M22: 2 имеет описанное выше мономиальное представление; 210:M22 фиксирует треугольник 2-2-4.
  • McL фиксирует треугольник 2-2-3.
  • 21+8: Sp6(2) - централизатор инволюционного класса 2A (след -8)
  • HS: 2 фиксирует треугольник 2-3-3 или меняет его вершины типа 3 со сменой знака.
  • (24 × 21+6) .A8
  • U4(3): D8
  • 24+10. (S5 × S3)
  • M23 фиксирует 2-3-4 треугольник.
  • 31+4.21+4.S5
  • 51+2: 4S4

Классы сопряженности

Следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co2 показаны.[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]

Централизаторы неизвестного состава указаны скобками.

Учебный классЗаказ централизатораЦентрализаторРазмер классаСлед
все Co2124
743,178,24021+8: Sp6(2)32·52·11·23-8
2B41,287,68021+4:24.A82·34·5211·238
2C1,474,560210.A6.2223·34·52·7·11·230
466,56031+421+4А5211·52·7·11·23-3
3B155,5203 × U4(2).2211·3·52·7·11·236
3,096,5764.26.U3(3).224·33·53·11·238
4B122,880[210] S525·35·52·7·11·23-4
4C73,728[213.32]25·34·53·7·11·234
4D49,152[214.3]24·35·53·7·11·230
4E6,144[211.3]27·35·53·7·11·234
4F6,144[211.3]27·35·53·7·11·230
4G1,280[28.5]210·36·52·7·11·230
3,00051+24215·35·7·11·23-1
5B6005 × S5215·35·5·7·11·234
5,7603.21+4A5211·34·52·7·11·235
6B5,184[26.34]212·32·53·7·11·231
6C4,3206 × S6213·33·52·7·11·234
6D3,456[27.33]211·33·53·7·11·23-2
6E576[26.32]212·34·53·7·11·232
6F288[25.32]213·34·53·7·11·230
567 × D8215·36·53·11·2333
768[28.3]210·35·53·7·11·230
8B768[28.3]210·35·53·7·11·23-2
8C512[29]29·36·53·7·11·234
8D512[29]29·36·53·7·11·230
8E256[28]210·36·53·7·11·232
8F64[26]212·36·53·7·11·232
549 × S3217·33·53·7·11·233
10А1205 × 2.А4215·35·52·7·11·233
10B6010 × S3216·35·52·7·11·232
10C405 × D8215·36·52·7·11·230
11А1111218·36·53·7·232
12А864[25.33]213·33·53·7·11·23-1
12B288[25.32]213·34·53·7·11·231
12C288[25.32]213·34·53·7·11·232
12D288[25.32]213·34·53·7·11·23-2
12E96[25.3]213·35·53·7·11·233
12F96[25.3]213·35·53·7·11·232
12G48[24.3]214·35·53·7·11·231
12H48[24.3]214·35·53·7·11·230
14А565 × D8215·36·53·11·23-1
14B2814×2216·36·53·11·231эквивалент мощности
14C2814×2216·36·53·11·231
15А3030217·35·52·7·11·231
15B3030217·35·52·7·11·232эквивалент мощности
15C3030217·35·52·7·11·232
16А3216×2213·36·53·7·11·232
16B3216×2213·36·53·7·11·230
18A1818217·34·53·7·11·231
20А2020216·36·52·7·11·231
20B2020216·36·52·7·11·230
23А2323218·36·53·7·111эквивалент мощности
23B2323218·36·53·7·111
24А2424215·35·53·7·11·230
24B2424215·35·53·7·11·231
28А2828216·36·53·11·231
30А3030217·35·52·7·11·23-1
30B3030217·35·52·7·11·230
30C3030217·35·52·7·11·230

Рекомендации

Специфический

внешняя ссылка