WikiDer > Группа Кремона - Википедия

В алгебраическая геометрия, то Кремона группа, представлен Кремона (1863, 1865), - группа бирациональные автоморфизмы из ${ displaystyle n}$-размерный проективное пространство над полем ${ displaystyle k}$. Обозначается он ${ Displaystyle Cr ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$или же ${ Displaystyle Бир ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$ или же ${ Displaystyle Cr_ {п} (к)}$.

Группа Кремоны естественно отождествляется с группой автоморфизмов ${ displaystyle mathrm {Aut} _ {k} (к (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$ области рациональные функции в ${ displaystyle n}$ не определяет ${ displaystyle k}$, или другими словами чистый трансцендентное расширение из ${ displaystyle k}$, со степенью трансцендентности ${ displaystyle n}$.

В проективная общая линейная группа порядка ${ displaystyle n + 1}$, из проективные преобразования, содержится в кремонской группе порядка ${ displaystyle n}$. Эти двое равны только тогда, когда ${ displaystyle n = 0}$ или же ${ displaystyle n = 1}$, и в этом случае числитель и знаменатель преобразования должны быть линейными.

Группа Кремона в двух измерениях

В двух измерениях Макс Нётер и Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с ${ Displaystyle mathrm {PGL} (3, k)}$, хотя были некоторые разногласия по поводу правильности их доказательств, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы все еще плохо изучена, хотя было много работы по поиску ее элементов или подгрупп.

• Кантат и Лами (2010) показал, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа;
• Блан показал, что в нем нет нетривиальных нормальных подгрупп, также замкнутых в естественной топологии.
• По поводу конечных подгрупп группы Кремоны см. Долгачев и Исковских (2009).

Группа Кремоны в высших измерениях

Мало что известно о структуре группы Кремона в трех измерениях и выше, хотя многие ее элементы описаны. Блан (2010) показал, что он (линейно) связан, отвечая на вопрос о Серр (2010). Нет простого аналога теоремы Нётер – Кастельнуво в виде Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности не менее 3 не порождается своими элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.

Группы Де Жонкьер

Группа Де Жонкьера - это подгруппа группы Кремоны следующего вида^{[нужна цитата]}. Выберите основу трансцендентности${ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ для расширения поля ${ displaystyle k}$. Тогда группа Де Жонкьера - это подгруппа автоморфизмов группы ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ отображение подполя ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ в себя для некоторых ${ Displaystyle г Leq п}$. Он имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов ${ Displaystyle к (х_ {1}, ..., х_ {п})}$ над полем ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$, а фактор-группа - группа Кремоны ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ над полем ${ displaystyle k}$. Его также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {r} times mathbb {P} ^ {n-r} to mathbb {P} ^ {r}}$.

Когда ${ displaystyle n = 2}$ и ${ displaystyle r = 1}$ группа Де Жонкьера - это группа преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через данную точку, и является полупрямым произведением ${ Displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (к)}$ и ${ Displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (к (т))}$.

Рекомендации

• Альберих-Карраминяна, Мария (2002), Геометрия на плоскости карты Кремоны, Конспект лекций по математике, 1769, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b82933, ISBN 978-3-540-42816-9, МИСТЕР 1874328
• Блан, Жереми (2010), "Группы Кремоны, Connexité et simplicité", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 43 (2): 357–364, Дои:10.24033 / asens.2123, ISSN 0012-9593, МИСТЕР 2662668
• Кантат, Серж; Лами, Стефан (2010). «Нормальные подгруппы в группе Кремоны». Acta Mathematica. 210 (2013): 31–94. arXiv:1007.0895. Bibcode:2010arXiv1007.0895C. Дои:10.1007 / s11511-013-0090-1.
• Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), Трактат об алгебраических плоских кривых, Oxford University Press, ISBN 978-0-486-49576-7, МИСТЕР 0120551
• Кремона, Л. (1863 г.), "Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane", Математические площади Баттаглини, 1: 305–311
• Кремона, Л. (1865), "Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane", Математические площади Баттаглини, 3: 269–280, 363–376
• Демазюр, Мишель (1970), "Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 3: 507–588, ISSN 0012-9593, МИСТЕР 0284446
• Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-01765-8, заархивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-31, получено 2012-04-18
• Долгачев, Игорь В .; Исковских, Василий А. (2009), "Конечные подгруппы плоской группы Кремоны", Алгебра, арифметика и геометрия: имени Ю. И. Манин. Vol. я, Прогр. Математика, 269, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 443–548, arXiv:математика / 0610595, Дои:10.1007/978-0-8176-4745-2_11, ISBN 978-0-8176-4744-5, МИСТЕР 2641179
• Гизатуллин, М.Х. (1983), "Определение соотношений для группы Кремоны плоскости", Математика СССР-Известия, 21 (2): 211–268, Bibcode:1983ИзМат..21..211Г, Дои:10.1070 / IM1983v021n02ABEH001789, ISSN 0373-2436, МИСТЕР 0675525
• Годо, Люсьен (1927), Les transformations birationelles du plan, Mémorial des Sciences mathématiques, 22, Gauthier-Villars et Cie, JFM 53.0595.02
• "Кремона груп", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Преображение Кремоны», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хадсон, Хильда Фиби (1927), Преобразования Кремоны в плоскости и пространстве, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-35882-8, Переиздано 2012 г.
• Семпл, Дж. Г .; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4, МИСТЕР 0814690
• Серр, Жан-Пьер (2009), «Оценка в стиле Минковского для порядков конечных подгрупп группы Кремоны ранга 2 над произвольным полем», Московский математический журнал, 9 (1): 193–208, Дои:10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198, ISSN 1609-3321, МИСТЕР 2567402
• Серр, Жан-Пьер (2010), "Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis" (PDF), Astérisque, Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN 0303-1179, МИСТЕР 2648675