WikiDer > Закон Кюри - Википедия

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Закон Кюри» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Сентябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Для многих парамагнитный материалы, намагничивание материала прямо пропорционален применяемому магнитное поле, для больших температур малых полей. Однако, если материал нагревается, эта пропорциональность уменьшается. Для фиксированного значения поля магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре, то есть

${ displaystyle M = chi H ; { text {with}} ; chi = { frac {C} {T}}}$

куда

${ displaystyle chi> 0}$ - (объемная) магнитная восприимчивость,

${ displaystyle M}$ - величина результирующей намагниченности в амперы/ метр (А / м),

${ displaystyle H}$ - величина приложенного магнитного поля (А / м),

${ displaystyle T}$ абсолютная температура, измеренная в кельвины (К),

${ displaystyle C}$ зависит от материала Постоянная Кюри (К).

Эта связь была обнаружена экспериментально (путем подгонки результатов к правильно угаданной модели) Пьер Кюри. Это справедливо только для высоких температур или слабых магнитных полей. Как показывают приведенные ниже выводы, намагниченность насыщается в противоположном пределе низких температур или сильных полей. Если константа Кюри равна нулю, доминируют другие магнитные эффекты, такие как диамагнетизм Ланжевена или Парамагнетизм Ван Флека.

Вывод с помощью квантовой механики

Намагничивание парамагнетика в зависимости от обратный температура.

Простой модель из парамагнетик концентрируется на составляющих его частицах, которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая частица имеет магнитный момент данный ${ displaystyle { vec { mu}}}$. В энергия из магнитный момент в магнитном поле дается выражением

${ displaystyle E = - { boldsymbol { mu}} cdot mathbf {B},}$

куда ${ Displaystyle mathbf {B} = mu _ {0} ( mathbf {H} + mathbf {M})}$, - плотность магнитного поля, измеренная в теслас (Т).

Частицы с двумя состояниями (спин 1/2)

Чтобы упростить расчет, мы будем работать с 2-состояние частица: она может либо выровнять свой магнитный момент с магнитным полем, либо против него. Таким образом, единственно возможные значения магнитного момента: ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle - mu}$. Если да, то такая частица имеет только две возможные энергии

${ displaystyle E_ {0} = - mu B}$

и

${ displaystyle E_ {1} = mu B.}$

Когда кто-то ищет намагничивание парамагнетика, его интересует вероятность того, что частица выровняется с полем. Другими словами, человек ищет ожидаемое значение намагниченности ${ displaystyle mu}$:

${ displaystyle left langle mu right rangle = mu P left ( mu right) + (- mu) P left (- mu right) = {1 over Z} left ( mu e ^ { mu B beta} - mu e ^ {- mu B beta} right) = {2 mu over Z} sinh ( mu B beta),}$

где вероятность конфигурации задается ее Фактор Больцмана, а функция распределения ${ displaystyle Z}$ обеспечивает необходимые нормализация для вероятностей (так что сумма их всех равно единице.) Статистическая сумма одной частицы равна:

${ displaystyle Z = sum _ {n = 0,1} e ^ {- E_ {n} beta} = e ^ { mu B beta} + e ^ {- mu B beta} = 2 cosh left ( mu B beta right).}$

Следовательно, в этом простом случае мы имеем:

${ displaystyle left langle mu right rangle = mu tanh left ( mu B beta right).}$

Это намагниченность одной частицы, полная намагниченность твердый дан кем-то

${ Displaystyle М = п влево лангл му вправо rangle = п му танх влево ({ му Б над kT} вправо)}$

куда п это числовая плотность магнитных моментов. В формула выше известен как Парамагнитное уравнение Ланжевена.Пьер Кюри нашел приближение к этому закон что относится к относительно высоким температурам и слабым магнитным полям, используемым в его эксперименты. Давайте посмотрим, что произойдет с намагниченностью, когда мы специализируемся на больших ${ displaystyle T}$ и маленький ${ displaystyle B}$. При увеличении температуры и уменьшении магнитного поля аргумент гиперболический тангенс уменьшается. Другой способ сказать это

${ displaystyle left ({ mu B over kT} right) ll 1}$

это иногда называют Режим Кюри. Мы также знаем, что если ${ Displaystyle | х | ll 1}$, тогда

${ Displaystyle tanh х приблизительно х,}$

поэтому намагниченность мала, и мы можем написать ${ displaystyle B приблизительно mu _ {0} H}$, и поэтому

${ displaystyle M приблизительно { mu _ {0} mu ^ {2} n over k} {H over T},}$

и, что более важно, магнитная восприимчивость, определяемая

${ displaystyle chi = { frac { partial M} { partial H}} приблизительно { frac {M} {H}}}$

дает

${ Displaystyle чи (T rightarrow infty) = {C над T},}$

с Постоянная Кюри данный ${ Displaystyle С = му _ {0} п му ^ {2} / к}$, в кельвины (К).^[1]

В режиме низких температур или высоких полей, ${ displaystyle M}$ стремится к максимальному значению ${ displaystyle n mu}$, что соответствует тому, что все частицы полностью выровнены по полю. Поскольку этот расчет не описывает электроны, глубоко погруженные в Поверхность Ферми, запрещено Принцип исключения Паули чтобы перевернуть их спины, это не иллюстрирует квантовую статистику задачи при низких температурах. С использованием Распределение Ферми-Дирака, обнаружится, что при низких температурах ${ displaystyle M}$ линейно зависит от магнитного поля, так что магнитная восприимчивость достигает постоянного значения.

Общий случай

Когда частицы имеют произвольный спин (любое количество спиновых состояний), формула немного сложнее: при низких магнитных полях или высокой температуре спин следует закону Кюри с

${ displaystyle C = { frac { mu _ {0} mu _ { rm {B}} ^ {2}} {3k}} ng ^ {2} J (J + 1)}$^[2]

куда ${ displaystyle J}$ это квантовое число полного углового момента и ${ displaystyle g}$ - g-фактор спина (такой, что ${ displaystyle mu = gJ mu _ { rm {B}}}$ - магнитный момент).

Для этой более общей формулы и ее вывода (включая сильное поле и низкую температуру) см. Статью: Функция Бриллюэна. Когда спин приближается к бесконечности, формула намагниченности приближается к классическому значению, полученному в следующем разделе.

Вывод с помощью классической статистической механики

Альтернативный подход применяется, когда парамагнетоны представляются классическими, свободно вращающимися магнитными моментами. В этом случае их позиция будут определяться их углы в сферические координаты, а энергия для одного из них будет:

${ Displaystyle Е = - му В соз тета,}$

куда ${ displaystyle theta}$ - это угол между магнитным моментом и магнитным полем (которое мы считаем указывающим в ${ displaystyle z}$координаты.) Соответствующая статистическая сумма равна

${ Displaystyle Z = int _ {0} ^ {2 pi} d phi int _ {0} ^ { pi} d theta sin theta exp ( mu B beta cos theta ).}$

Мы видим, что нет зависимости от ${ displaystyle phi}$ угол, а также мы можем заменить переменные на ${ Displaystyle у = соз тета}$ чтобы получить

${ displaystyle Z = 2 pi int _ {- 1} ^ {1} dy exp ( mu B beta y) = 2 pi { exp ( mu B beta) - exp (- mu B beta) over mu B beta} = {4 pi sinh ( mu B beta) over mu B beta.}}$

Теперь ожидаемое значение ${ displaystyle z}$ компонент намагниченности (два других видны равными нулю (из-за интегрирования по ${ displaystyle phi}$), как и должно быть) будет дано

${ displaystyle left langle mu _ {z} right rangle = {1 over Z} int _ {0} ^ {2 pi} d phi int _ {0} ^ { pi} d theta sin theta exp ( mu B beta cos theta) left [ mu cos theta right].}$

Чтобы упростить расчет, мы видим, что это можно записать как дифференцирование ${ displaystyle Z}$:

${ displaystyle left langle mu _ {z} right rangle = {1 over Z beta} { frac { partial Z} { partial B}} = {1 over beta} { гидроразрыв { partial ln Z} { partial B}}}$

(Этот подход также можно использовать для модели, приведенной выше, но расчет был настолько простым, что это не так полезно.)

Выполняя вывод, находим

${ Displaystyle М = п влево langle му _ {z} вправо rangle = п му L ( му В бета),}$

куда ${ displaystyle L}$ это Функция Ланжевена:

${ displaystyle L (x) = coth x- {1 over x}.}$

Эта функция могла бы казаться особенной для небольших ${ displaystyle x}$, но это не так, поскольку два единичных члена взаимно компенсируют друг друга. Фактически, его поведение для небольших аргументов${ Displaystyle L (х) приблизительно х / 3}$, поэтому предел Кюри также применяется, но с постоянной в три раза меньшей в этом случае. Аналогично функция насыщается при ${ displaystyle 1}$ для больших значений его аргумента, и обратный предел также восстанавливается.

Смотрите также

• Закон Кюри-Вейсса

Рекомендации