WikiDer > Теорема Де Муавра – Лапласа - Википедия

В системе, бункеры которой заполняются в соответствии с биномиальное распределение (Такие как Гальтона "фасоль машина", показанный здесь), учитывая достаточное количество попыток (здесь ряды булавок, каждая из которых заставляет упавший" боб "упасть влево или вправо), форма, представляющая распределение вероятности k успехи в п испытаний (см. нижнюю часть рис.7) приблизительно соответствует распределению Гаусса со средним значением нп и дисперсия нп(1−п), предполагая, что испытания независимы и успех случается с вероятностью п.

Подумайте о том, чтобы выбросить набор п монеты очень большое количество раз и каждый раз подсчитывая количество выпавших голов. Возможное количество голов при каждом броске, k, работает от 0 до п по горизонтальной оси, а по вертикальной оси отложена относительная частота появления результата k головы. Таким образом, высота каждой точки - это вероятность наблюдения k головы при подбрасывании п монеты (а биномиальное распределение на основе п испытания). Согласно теореме де Муавра – Лапласа при п возрастает, форма дискретного распределения сходится к непрерывной гауссовой кривой нормальное распределение.

В теория вероятности, то Теорема де Муавра – Лапласа, который является частным случаем Центральная предельная теорема, заявляет, что нормальное распределение может использоваться как приближение к биномиальное распределение при определенных условиях. В частности, теорема показывает, что функция массы вероятности случайного числа "успехов", наблюдаемых в серии ${ displaystyle n}$ независимый Бернулли испытания, каждая из которых имеет вероятность ${ displaystyle p}$ успеха (биномиальное распределение с ${ displaystyle n}$ испытания), сходится к функция плотности вероятности нормального распределения со средним ${ displaystyle np}$ и стандартное отклонение${ displaystyle { sqrt {np (1-p)}}}$, так как ${ displaystyle n}$ становится большим, предполагая ${ displaystyle p}$ не является ${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 1}$.

Теорема появилась во втором издании Доктрина шансов к Авраам де Муавр, опубликованный в 1738 году. Хотя де Муавр не использовал термин «процессы Бернулли», он писал о распределение вероятностей от количества раз "орла", когда монета подбрасывается 3600 раз.^[1]

Это один из выводов конкретного Функция Гаусса используется в нормальном распределении.

Теорема

В качестве п становится большим, для k в район из нп мы можем приблизиться^[2][3]

${ displaystyle {n choose k} , p ^ {k} q ^ {nk} simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} , e ^ {- { frac { (k-np) ^ {2}} {2npq}}}, qquad p + q = 1, p, q> 0}$

в том смысле, что отношение левой части к правой сходится к 1 как п → ∞.

Доказательство

Теорему можно более строго сформулировать следующим образом: ${ displaystyle left (X ! , - ! , np right) ! / ! { sqrt {npq}}}$, с ${ displaystyle textstyle X}$ биномиально распределенная случайная величина приближается к стандартной норме как ${ Displaystyle п ! к ! infty}$, с отношением вероятностной массы ${ displaystyle X}$ с предельной нормальной плотностью, равной 1. Это можно показать для произвольной ненулевой и конечной точки ${ displaystyle c}$. На немасштабированной кривой для ${ displaystyle X}$, это было бы точкой ${ displaystyle k}$ данный

${ Displaystyle к = np + с { sqrt {npq}}}$

Например, с ${ displaystyle c}$ в 3, ${ displaystyle k}$ остается на 3 стандартных отклонения от среднего значения на немасштабированной кривой.

Нормальное распределение со средним ${ displaystyle mu}$ и стандартное отклонение ${ displaystyle sigma}$ определяется дифференциальным уравнением (ДУ)

${ displaystyle f '! (x) ! = ! - ! , { frac {x- mu} { sigma ^ {2}}} f (x)}$ с начальным условием, заданным аксиомой вероятности ${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ! е (х) , dx ! = ! 1}$.

Предел биномиального распределения приближается к нормальному, если биномиальное удовлетворяет этому DE. Поскольку бином дискретен, уравнение начинается как разностное уравнение чей предел трансформируется в DE. В разностных уравнениях используется дискретная производная, ${ Displaystyle TextStyle p (к ! + ! 1) ! - ! p (k)}$, изменение размера шага 1. Поскольку ${ Displaystyle textstyle п ! к ! infty}$, дискретная производная становится непрерывная производная. Следовательно, доказательство должно показать только, что для немасштабированного биномиального распределения

${ displaystyle { frac {f '! (x)} {f ! (x)}} ! cdot ! - ! , { frac { sigma ^ {2}} {x- mu}} ! в ! 1}$ в качестве ${ Displaystyle п ! к ! infty}$.

Нужный результат можно показать прямо:

${ displaystyle { begin {align} { frac {f '! (x)} {f ! (x)}} { frac {npq} {np ! , - ! , k}} ! & = { frac {p left (n, k + 1 right) -p left (n, k right)} {p left (n, k right)}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & = { frac {np-kq} {kq + q}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & = { frac {-c { sqrt {npq}} - q} {npq + cq { sqrt {npq}} + q}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & to 1 конец {выровнен}}}$

Последнее верно, потому что термин ${ displaystyle -cnpq}$ доминирует как в знаменателе, так и в числителе как ${ Displaystyle п ! к ! infty}$.

В качестве ${ displaystyle textstyle k}$ принимает только целые значения, константа ${ displaystyle textstyle c}$ возможна ошибка округления. Однако максимум этой ошибки, ${ displaystyle textstyle {0,5} / ! { sqrt {npq}}}$, - исчезающее значение.^[4]

Альтернативное доказательство

Доказательство состоит в преобразовании левой части (в формулировке теоремы) в правую тремя приближениями.

Во-первых, по мнению Формула Стирлинга, факториал большого числа п можно заменить приближением

${ displaystyle n! simeq n ^ {n} e ^ {- n} { sqrt {2 pi n}} qquad { text {as}} n to infty.}$

Таким образом

${ displaystyle { begin {align} {n choose k} p ^ {k} q ^ {nk} & = { frac {n!} {k! (nk)!}} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { frac {n ^ {n} e ^ {- n} { sqrt {2 pi n}}} {k ^ {k} e ^ {- k} { sqrt { 2 pi k}} (nk) ^ {nk} e ^ {- (nk)} { sqrt {2 pi (nk)}}}} p ^ {k} q ^ {nk} & = { sqrt { frac {n} {2 pi k left (nk right)}}} { frac {n ^ {n}} {k ^ {k} left (nk right) ^ {nk} }} p ^ {k} q ^ {nk} & = { sqrt { frac {n} {2 pi k left (nk right)}}} left ({ frac {np} { k}} right) ^ {k} left ({ frac {nq} {nk}} right) ^ {nk} end {align}}}$

Далее приближение ${ displaystyle { tfrac {k} {n}} to p}$ используется для сопоставления корня, указанного выше, с желаемым корнем с правой стороны.

${ displaystyle { begin {align} {n choose k} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { sqrt { frac {1} {2 pi n { frac {k} {n }} left (1 - { frac {k} {n}} right)}}} left ({ frac {np} {k}} right) ^ {k} left ({ frac { nq} {nk}} right) ^ {nk} & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} left ({ frac {np} {k}} right ) ^ {k} left ({ frac {nq} {nk}} right) ^ {nk} qquad p + q = 1 конец {выровнено}}}$

Наконец, выражение переписывается в виде экспоненты и используется приближение ряда Тейлора для ln (1 + x):

${ displaystyle ln left (1 + x right) simeq x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots }$

потом

${ displaystyle { begin {align} {n choose k} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { ln left ( left ({ frac {np} {k}} right) ^ {k} right) + ln left ( left ({ frac {nq} {nk}} right) ) ^ {nk} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({ frac { k} {np}} right) + (kn) ln left ({ frac {nk} {nq}} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({ frac {np + x { sqrt {npq}}} {np}} right) + (kn) ln left ( { frac {n-np-x { sqrt {npq}}} {nq}} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({1 + x { sqrt { frac {q} {np}}}} right) + (kn) ln left ({1-x { sqrt { frac {p} {nq}}}} right) right } qquad p + q = 1 & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k left ({x { sqrt { frac {q} {np}}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdots right) + (kn ) left ({- x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ {2} p} {2nq}}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-np-x { sqrt {npq}} right) left ({x { sqrt { frac {q} {np}}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdo ts right) + left (np + x { sqrt {npq}} - n right) left (-x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ { 2} p} {2nq}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-np -x { sqrt {npq}} right) left (x { sqrt { frac {q} {np}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdots справа) - left (nq-x { sqrt {npq}} right) left (-x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ {2} p} {2nq}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-x { sqrt { npq}} + { frac {1} {2}} x ^ {2} qx ^ {2} q + cdots right) + left (x { sqrt {npq}} + { frac {1} { 2}} x ^ {2} px ^ {2} p- cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} q - { frac {1} {2}} x ^ {2} p- cdots right } & = { frac { 1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} (p + q) - cdots right } & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} e ^ { frac {- (k-np) ^ {2}} {2npq}} конец {выровнено}}}$

Каждый "${ displaystyle simeq}$"в приведенном выше аргументе - утверждение, что две величины асимптотически эквивалентны, как п увеличивается в том же смысле, что и в исходной формулировке теоремы, то есть отношение каждой пары величин приближается к 1 при п → ∞.

Мелочи

• Стена это пример телевидения игровое шоу который использует теорему Де Муавра – Лапласа.^[5]

Смотрите также

• распределение Пуассона является альтернативным приближением биномиального распределения для больших значений п.

Примечания