WikiDer > Аппроксимационная теорема Дирихле - Википедия

В теория чисел, Теорема Дирихле о диофантовом приближении, также называемый Аппроксимационная теорема Дирихле, утверждает, что для любого действительные числа ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle N}$, с ${ Displaystyle 1 leq N}$, существуют целые числа ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ такой, что ${ Displaystyle 1 Leq Q Leq N}$ и

${ displaystyle left | q alpha -p right | leq { frac {1} {[N] +1}} <{ frac {1} {N}}.}$

Здесь ${ displaystyle [N]}$ представляет целая часть из ${ displaystyle N}$.Это фундаментальный результат Диофантово приближение, показывая, что любое действительное число имеет последовательность хороших рациональных приближений: на самом деле, непосредственным следствием этого является то, что для данного иррационального α неравенство

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} right | <{ frac {1} {q ^ {2}}}}$

удовлетворяется бесконечным числом целых чисел п и q. Это следствие также показывает, что Теорема Туэ – Зигеля – Рота., результат в другом направлении, обеспечивает, по сути, наиболее точную оценку в том смысле, что оценка рациональной аппроксимации алгебраические числа не может быть улучшен путем увеличения степени выше 2.

Одновременная версия

Одновременная версия аппроксимационной теоремы Дирихле утверждает, что при заданных действительных числах ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {d}}$ и натуральное число ${ displaystyle N}$ тогда есть целые числа ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {d}, q in mathbb {Z}, 1 leq q leq N}$ такой, что ${ displaystyle left | alpha _ {i} - { frac {p_ {i}} {q}} right | leq { frac {1} {qN ^ {1 / d}}}.}$

Метод доказательства

Эта теорема является следствием принцип голубятни. Питер Густав Лежен Дирихле кто доказал результат, использовал тот же принцип в других контекстах (например, Уравнение Пелла) и, назвав принцип (на немецком языке), популяризировал его использование, хотя его статус с точки зрения учебников придет позже.^[1] Метод распространяется на одновременное приближение.^[2]

Другое простое доказательство аппроксимационной теоремы Дирихле основано на Теорема Минковского применяется к набору

${ displaystyle S = left {(x, y) in mathbb {R} ^ {2}; - N - { frac {1} {2}} leq x leq N + { frac {1 } {2}}, vert alpha xy vert leq { frac {1} {N}} right }.}$

Поскольку объем ${ displaystyle S}$ больше, чем ${ displaystyle 4}$, Теорема Минковского устанавливает существование нетривиальной точки с целыми координатами. Это доказательство естественным образом распространяется на одновременные приближения, рассматривая множество

${ displaystyle S = left {(x, y_ {1}, dots, y_ {d}) in mathbb {R} ^ {1 + d}; - N - { frac {1} {2 }} leq x leq N + { frac {1} {2}}, | alpha _ {i} x-y_ {i} | leq { frac {1} {N ^ {1 / d}} }верно}.}$

Смотрите также

• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях
• Теорема Гурвица (теория чисел)
• Набор Хайльбронн
• Теорема Кронекера (обобщение теоремы Дирихле)

Примечания

Рекомендации

• Шмидт, Вольфганг М (1980). Диофантово приближение. Конспект лекций по математике. 785. Springer. Дои:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 978-3-540-38645-2.
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций из серии книг по математике. 1467. Springer. Дои:10.1007 / BFb0098246. ISBN 978-3-540-47374-9.

внешняя ссылка

• Аппроксимационная теорема Дирихле. в PlanetMath.