WikiDer > Бета-функция Дирихле

Dirichlet beta function
Бета-функция Дирихле

В математика, то Бета-функция Дирихле (также известный как Каталонская бета-функция) это специальная функция, тесно связанный с Дзета-функция Римана. Это особый L-функция Дирихле, L-функция для знакопеременного персонаж четвертого периода.

Определение

Бета-функция Дирихле определяется как

или, что то же самое,

В каждом случае предполагается, что Re (s) > 0.

В качестве альтернативы, следующее определение в терминах Дзета-функция Гурвица, действует во всем комплексе s-самолет:

доказательство

Другое эквивалентное определение с точки зрения Лерх трансцендентный, является:

что еще раз верно для всех комплексных значений s.

Также представление ряда бета-функции Дирихле может быть сформировано в терминах полигамма функция

Формула произведения Эйлера

Также это простейший пример серии, не имеющей прямого отношения к который также можно разложить на множители как Произведение Эйлера, что привело к идее Dirichlet персонаж определение точного набора Серия Дирихле имея факторизацию по простые числа.

По крайней мере, для Re (s) ≥ 1:

куда п≡1 мод 4 простые числа формы 4п+1 (5,13,17, ...) и п≡3 мод 4 простые числа формы 4п+3 (3,7,11, ...). Это можно записать компактно как

Функциональное уравнение

В функциональное уравнение расширяет бета-функцию до левой части комплексная плоскость Re (s) ≤ 0. Он задается формулой

где Γ (s) это гамма-функция.

Особые ценности

Некоторые особые значения включают:

куда грамм представляет Каталонская постоянная, и

куда в приведенном выше примере полигамма функция. В более общем смысле, для любого положительного целого числа k:

куда представляют Числа Эйлера. Для целого числа k ≥ 0, это распространяется на:

Следовательно, функция обращается в нуль для всех нечетных отрицательных целых значений аргумента.

Для каждого положительного целого числа k:

[нужна цитата]

куда это Зигзагообразное число Эйлера.

Также он был получен Мальмстен в 1842 г.

sприблизительное значение β (s)OEIS
1/50.5737108471859466493572665A261624
1/40.5907230564424947318659591A261623
1/30.6178550888488520660725389A261622
1/20.6676914571896091766586909A195103
10.7853981633974483096156608A003881
20.9159655941772190150546035A006752
30.9689461462593693804836348A153071
40.9889445517411053361084226A175572
50.9961578280770880640063194A175571
60.9986852222184381354416008A175570
70.9995545078905399094963465
80.9998499902468296563380671
90.9999496841872200898213589
100.9999831640261968774055407

В позиции -1 есть нули; -3; -5; -7 и т. Д.

Смотрите также

Рекомендации

  • Глассер, М. Л. (1972). «Вычисление решеточных сумм. I. Аналитические процедуры». J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode:1973JMP .... 14..409G. Дои:10.1063/1.1666331.
  • Дж. Спаниер и К. Б. Олдхэм, Атлас функций, (1987) Полушарие, Нью-Йорк.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Бета-функция Дирихле». MathWorld.