WikiDer > Дискретное уравнение Пуассона

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то дискретное уравнение Пуассона это конечная разница аналог Уравнение Пуассона. В нем дискретный оператор Лапласа занимает место Оператор Лапласа. Дискретное уравнение Пуассона часто используется в числовой анализ в качестве замены для непрерывного уравнения Пуассона, хотя оно также изучается само по себе как тема в дискретная математика.

На двумерной прямоугольной сетке

С использованием конечная разница численный метод дискретизации 2-мерного уравнения Пуассона (предполагая равномерную пространственную дискретизацию, ${displaystyle Delta x = Delta y}$) на м × п сетка дает следующую формулу:^[1]

${displaystyle ({abla} ^ {2} u) _ {ij} = {frac {1} {Delta x ^ {2}}} (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1, j} + u_ {i, j + 1} + u_ {i, j-1} -4u_ {ij}) = g_ {ij}}$

куда ${displaystyle 2leq ileq m-1}$ и ${displaystyle 2leq jleq n-1}$. Предпочтительное расположение вектора решения - использовать естественный порядок который до удаления граничных элементов выглядел бы так:

${displaystyle {vec {u}} = {egin {bmatrix} u_ {11}, u_ {21}, ldots, u_ {m1}, u_ {12}, u_ {22}, ldots, u_ {m2}, ldots, u_ {mn} конец {bmatrix}} ^ {T}}$

Это приведет к мин × мин линейная система:

${displaystyle A {vec {u}} = {vec {b}}}$

куда

${displaystyle A = {egin {bmatrix} ~ D & -I & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 -I & ~ D & -I & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 ~ 0 & -I & ~ D & -I & ~ 0 & ldots & ~ 0 vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & vdots ~ 0 & ldots & ~ 0 & -I & ~ D & -I & ~ 0 ~ 0 & ldots & ldots & ~ 0 & -I & ~ D & -I ~ 0 & ldots & ldots & ldots & ~ 0 & -I & ~} },}$

${displaystyle I}$ это м × м единичная матрица, и ${displaystyle D}$, также м × м, дан кем-то:

${displaystyle D = {egin {bmatrix} ~ 4 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ldots & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & ldots & ~ 0 vdots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & vdots ~ 0 & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ldots & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & ldots & ldots & ldots & ~ 0 & -1 & ~ 4end {bb) },}$

^[2]и ${displaystyle {vec {b}}}$ определяется

${displaystyle {vec {b}} = - Delta x ^ {2} {egin {bmatrix} g_ {11}, g_ {21}, ldots, g_ {m1}, g_ {12}, g_ {22}, ldots, g_ {m2}, ldots, g_ {mn} end {bmatrix}} ^ {T}.}$

Для каждого ${displaystyle u_ {ij}}$ уравнение, столбцы ${displaystyle D}$ соответствуют блоку ${displaystyle m}$ компоненты в ${displaystyle u}$:

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1j}, & u_ {2j}, & ldots, & u_ {i-1, j}, & u_ {ij}, & u_ {i + 1, j}, & ldots, & u_ {mj} end { bmatrix}} ^ {T}}$

в то время как столбцы ${displaystyle I}$ слева и справа от ${displaystyle D}$ каждый соответствует другим блокам ${displaystyle m}$ компоненты внутри ${displaystyle u}$:

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1, j-1}, & u_ {2, j-1}, & ldots, & u_ {i-1, j-1}, & u_ {i, j-1}, & u_ {i + 1, j-1}, & ldots, & u_ {m, j-1} end {bmatrix}} ^ {T}}$

и

${displaystyle {egin {bmatrix} u_ {1, j + 1}, & u_ {2, j + 1}, & ldots, & u_ {i-1, j + 1}, & u_ {i, j + 1}, & u_ {i + 1, j + 1}, & ldots, & u_ {m, j + 1} end {bmatrix}} ^ {T}}$

соответственно.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что есть ${displaystyle n}$ блочные столбцы ${displaystyle m}$ в ${displaystyle A}$. Важно отметить, что предписанные значения ${displaystyle u}$ (обычно лежащие на границе) их соответствующие элементы были бы удалены из ${displaystyle I}$ и ${displaystyle D}$. Для общего случая, когда все узлы на границе установлены, мы имеем ${displaystyle 2leq ileq m-1}$ и ${displaystyle 2leq jleq n-1}$, а система имела бы размеры (м − 2)(п − 2) × (м − 2)(п - 2), где ${displaystyle D}$ и ${displaystyle I}$ имел бы размеры (м − 2) × (м − 2).

Пример

Для 5 × 5 ( ${displaystyle m = 5}$ и ${displaystyle n = 5}$ ) сетка со всеми заданными граничными узлами, система будет выглядеть так:

${displaystyle {egin {bmatrix} Uend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} u_ {22}, u_ {32}, u_ {42}, u_ {23}, u_ {33}, u_ {43}, u_ { 24}, u_ {34}, u_ {44} конец {bmatrix}} ^ {T}}$

с

${displaystyle A = left [{egin {array} {ccc | ccc | ccc} ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 4 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 hline -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & ~ 0 & ~ 0 & -1 hline ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 4 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & ~ 0 & -1 & ~ 0 & -1 & ~ 4end {array}} ight]}$

и

${displaystyle {vec {b}} = left [{egin {array} {l} -Delta x ^ {2} g_ {22} + u_ {12} + u_ {21} - Delta x ^ {2} g_ { 32} + u_ {31} ~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {42} + u_ {52} + u_ {41} - Delta x ^ {2} g_ {23} + u_ {13} ~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {33} ~~~~~~~~~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ { 43} + u_ {53} ~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {24} + u_ {14} + u_ {25} - Delta x ^ {2} g_ {34} + u_ {35} ~~~~~~~~ -Delta x ^ {2} g_ {44} + u_ {54} + u_ {45} end {array}} ight].}$

Как видно, граница ${displaystyle u}$в правую часть уравнения.^[3] Вся система имеет размер 9 × 9, а ${displaystyle D}$ и ${displaystyle I}$ равны 3 × 3 и определяются по формуле:

${displaystyle D = {egin {bmatrix} ~ 4 & -1 & ~ 0 -1 & ~ 4 & -1 ~ 0 & -1 & ~ 4 end {bmatrix}}}$

и

${displaystyle -I = {egin {bmatrix} -1 & ~ 0 & ~ 0 ~ 0 & -1 & ~ 0 ~ 0 & ~ 0 & -1end {bmatrix}}.}$

Методы решения

Потому что ${displaystyle {egin {bmatrix} Aend {bmatrix}}}$ является блочным трехдиагональным и разреженным, многие методы решения были разработаны для оптимального решения этой линейной системы для ${displaystyle {egin {bmatrix} Uend {bmatrix}}}$.Среди методов есть обобщенные Алгоритм Томаса с результирующей вычислительной сложностью ${displaystyle O (n ^ {2.5})}$, циклическое сокращение, последовательное чрезмерное расслабление это имеет сложность ${displaystyle O (n ^ {1.5})}$, и Быстрые преобразования Фурье который ${displaystyle O (nlog (n))}$. Оптимальный ${displaystyle O (n)}$ решение также может быть вычислено с использованием многосеточные методы. ^[4]

Сходимость по Пуассону различных итерационных методов с бесконечными нормами остатков в зависимости от количества итераций и компьютерного времени.

Приложения

В вычислительная гидродинамика, для решения задачи о течении несжимаемой жидкости условие несжимаемости действует как ограничение для давления. В этом случае для давления нет явной формы из-за сильной связи полей скорости и давления. В этом условии, взяв расходимость всех членов в уравнении количества движения, можно получить уравнение Пуассона давления.

Для несжимаемого потока это ограничение определяется выражением:

${displaystyle {frac {partial v_ {x}} {partial x}} + {frac {partial v_ {y}} {partial y}}} + {frac {partial v_ {z}} {partial z}} = 0}$

куда ${displaystyle v_ {x}}$ - скорость в ${displaystyle x}$ направление, ${displaystyle v_ {y}}$ скорость в ${displaystyle y}$ и ${displaystyle v_ {z}}$ - скорость в ${displaystyle z}$ направление. Принимая дивергенцию уравнения импульса и используя ограничение несжимаемости, уравнение Пуассона давления формируется следующим образом:

${displaystyle abla ^ {2} p = f (u, V)}$

куда ${displaystyle u}$ - кинематическая вязкость жидкости и ${displaystyle V}$ - вектор скорости.^[5]

Дискретное уравнение Пуассона возникает в теории Цепи Маркова. Он появляется как функция относительного значения для уравнения динамического программирования в Марковский процесс принятия решений, и как управление варьировать для применения в моделировании уменьшения дисперсии.^[6][7][8]

Сноски

Рекомендации

• Хоффман, Джо Д., Численные методы для инженеров и ученых, 4-е изд., McGraw – Hill Inc., Нью-Йорк, 1992.
• Милый, Роланд А., SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 11, № 3 , Июнь 1974 г., стр. 506–520.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 20.4. Методы Фурье и циклической редукции». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.