WikiDer > Диадические кубики

Dyadic cubes

В математика, то диадические кубики представляют собой собрание кубики в рп разных размеров или масштабов, так что набор кубиков каждого масштаба раздел рп и каждый куб в одном масштабе может быть записан как объединение кубов меньшего масштаба. Они часто используются в математике (особенно гармонический анализ) как способ дискретизации объектов для облегчения вычислений или анализа. Например, чтобы изучить произвольное подмножество А из Евклидово пространство, вместо этого можно заменить его объединением диадических кубов определенного размера, которые крышка набор. Этот набор можно рассматривать как пиксельную версию исходного набора, и по мере использования кубиков меньшего размера получается более четкое изображение набора. А. Наиболее заметные проявления диадических кубов включают Теорема Уитни о расширении и Лемма Кальдерона – Зигмунда..

Диадические кубы в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве диадические кубы могут быть построены следующим образом: для каждого целого числа k пусть Δk быть набором кубиков в рп стороны длины 2k и уголки в комплекте

и пусть ∆ - объединение всех ∆k.

Наиболее важными особенностями этих кубиков являются следующие:

  1. Для каждого целого числа k, Δk перегородки рп.
  2. Все кубики в Δk имеют одинаковую длину стороны, а именно 2k.
  3. Если интерьеры из двух кубиков Q и р в Δ имеют непустое пересечение, то либо Q содержится в р или же р содержится в Q.
  4. Каждый Q в Δk можно записать как объединение 2п кубы в Δk+1 с непересекающимися интерьерами.

Мы используем слово «разделение» несколько вольно: хотя их союз - это все рп, кубы в Δk могут перекрывать свои границы. Однако эти совпадения нулевая мера Лебега, и поэтому для большинства приложений эта немного более слабая форма разделения не помеха.

Также может показаться странным, что больше k соответствует кубикам меньшего размера. Можно думать о k как степень увеличения. Однако на практике, полагая Δk - набор кубиков со стороной 2k или 2k это вопрос предпочтения или удобства.

Уловка на одну треть

Одним из недостатков диадических кубов в евклидовом пространстве является то, что они слишком сильно зависят от конкретного положения кубов. Например, для диадических кубов Δ, описанных выше, невозможно содержать произвольные мяч внутри некоторых Q в Δ (рассмотрим, например, единичный шар с центром в нуле). В качестве альтернативы может быть такой куб, который содержит мяч, но размеры шара и куба очень разные. Из-за этого предостережения иногда бывает полезно работать с двумя или более коллекциями диадических кубов одновременно.

Определение

Следующее известно как одна третья уловка:[1]

Пусть Δk быть диадическими кубами масштаба k как указано выше. Определять

Это набор диадических кубов в Δk переводится вектором α. Для каждого такого α пусть ∆α - объединение Δkα над k.

  • Есть универсальная константа C > 0 такое, что для любого шара B с радиусом р <1/3, существует α в {0,1 / 3}п и куб Q в Δα содержащий B диаметр которых не более Cr.
  • В более общем смысле, если B мяч с любой радиус р > 0, в {0, 1/3, 4/3, 42/3, ...}п и куб Q в Δα содержащий B диаметр которых не более Cr.

Пример приложения

Уловка одной трети привлекательна тем, что можно сначала доказать диадические версии теоремы, а затем вывести из них «недиадические» теоремы. Например, вспомним Максимальная функция Харди-Литтлвуда

куда ж это локально интегрируемая функция и |B(Икср) | обозначает меру шара B(Икср). В Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда заявляет, что для интегрируемый функция ж,

при λ> 0 где Cп - некоторая константа, зависящая только от размерности.

Эта теорема обычно доказывается с использованием Лемма Витали о покрытии. Однако можно избежать использования этой леммы, если сначала докажем указанное неравенство для диадические максимальные функции

Доказательство аналогично доказательству исходной теоремы, однако свойства диадических кубов избавляют нас от необходимости использовать лемму Витали о покрытии. Затем мы можем вывести исходное неравенство, используя прием одной трети.

Диадические кубы в метрических пространствах

Аналоги диадических кубов могут быть построены в некоторых метрические пространства.[2] В частности, пусть Икс метрическое пространство с метрикой d который поддерживает удвоение меры µ, т.е. такая мера, что при ИксИкс и р > 0 имеется:

куда C > 0 - универсальная постоянная, не зависящая от выбора Икс и р.

Если Икс поддерживает такую ​​меру, то существуют наборы множеств ∆k такие, что они (и их объединение Δ) удовлетворяют следующему:

  • Для каждого целого числа k, Δk перегородки Икс, в том смысле, что
  • Все наборы Q в Δk примерно одинакового размера. Точнее, каждый такой Q имеет центр zQ такой, что
куда c1c2, и δ положительные константы, зависящие только от константы удвоения C меры µ и не зависит от Q.
  • Каждый Q в Δk содержится в уникальном наборе р в Δk−1.
  • Есть постоянные постоянные C3, η> 0, зависящее только от µ, такое, что для всех k и т > 0,

Эти условия очень похожи на свойства обычных евклидовых кубов, описанных ранее. Последнее условие говорит о том, что область у границы «куба» Q в Δ мала, что является само собой разумеющимся свойством в евклидовом случае, хотя очень важно для расширения результатов из гармонический анализ к настройке метрического пространства.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Окикиолу, Кейт (1992). "Характеризация подмножеств спрямляемых кривых в Rп". J. London Math. Soc. Серия 2. 46 (2): 336–348.
  2. ^ Христос, Майкл (1990). «Теорема T (b) с замечаниями об аналитической емкости и интеграле Коши». Коллок. Математика. 60/61 (2): 601–628.