WikiDer > Интегральное уравнение электрического поля

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Апрель 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Март 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В интегральное уравнение электрического поля это отношение, которое позволяет вычислить электрическое поле (E) порожденная электрический ток распределение (J).

Вывод

Когда рассматриваются все величины в частотной области, временная зависимость ${ Displaystyle е ^ {+ jwt} ,}$ предполагается, что это подавлено повсюду.

Начиная с Уравнения Максвелла относящиеся к электрическому и магнитное поле, и предполагая линейный, однородный СМИ с проницаемость ${ displaystyle mu ,}$ и диэлектрическая проницаемость ${ displaystyle epsilon ,}$:

${ displaystyle nabla times { textbf {E}} = - j omega mu { textbf {H}} ,}$

${ displaystyle nabla times { textbf {H}} = j omega epsilon { textbf {E}} + { textbf {J}} ,}$

Следуя третьему уравнению, включающему расхождение из ЧАС

${ Displaystyle набла cdot { textbf {H}} = 0 ,}$

к векторное исчисление мы можем записать любой бездивергентный вектор как завиток другого вектора, следовательно

${ displaystyle nabla times { textbf {A}} = { textbf {H}} ,}$

куда А называется магнитный векторный потенциал. Подставляя это в приведенное выше, мы получаем

${ displaystyle nabla times ({ textbf {E}} + j omega mu { textbf {A}}) = 0 ,}$

и любой вектор без завитков можно записать как градиент скаляра, следовательно

${ displaystyle { textbf {E}} + j omega mu { textbf {A}} = - nabla Phi}$

куда ${ displaystyle Phi}$ это электрический скалярный потенциал. Эти отношения теперь позволяют нам писать

${ displaystyle nabla times nabla times { textbf {A}} - k ^ {2} { textbf {A}} = { textbf {J}} - j omega epsilon nabla Phi ,}$

куда ${ displaystyle k = omega { sqrt { mu epsilon}}}$, который можно переписать векторным тождеством как

${ displaystyle nabla ( nabla cdot { textbf {A}}) - nabla ^ {2} { textbf {A}} - k ^ {2} { textbf {A}} = { textbf { J}} - j omega epsilon nabla Phi ,}$

Поскольку мы указали только завиток А, мы можем определить расхождение и выбрать следующее:

${ displaystyle nabla cdot { textbf {A}} = - j omega epsilon Phi ,}$

который называется Условие калибровки Лоренца. Предыдущее выражение для А теперь сводится к

${ displaystyle nabla ^ {2} { textbf {A}} + k ^ {2} { textbf {A}} = - { textbf {J}} ,}$

который является вектором Уравнение Гельмгольца. Решение этого уравнения для А является

${ displaystyle { textbf {A}} ({ textbf {r}}) = { frac {1} {4 pi}} iiint { textbf {J}} ({ textbf {r}} ^ { prime}) G ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) d { textbf {r}} ^ { prime} ,}$

куда ${ Displaystyle G ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) ,}$ является трехмерным однородным Функция Грина данный

${ displaystyle G ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) = { frac {e ^ {- jk | { textbf {r}} - { textbf {r }} ^ { prime} |}} {| { textbf {r}} - { textbf {r}} ^ { prime} |}} ,}$

Теперь мы можем написать так называемое интегральное уравнение электрического поля (EFIE), связывающее электрическое поле E к векторному потенциалу А

${ displaystyle { textbf {E}} = - j omega mu { textbf {A}} + { frac {1} {j omega epsilon}} nabla ( nabla cdot { textbf { A}}) ,}$

Далее мы можем представить EFIE в диадической форме как

${ displaystyle { textbf {E}} = - j omega mu int _ {V} d { textbf {r}} ^ { prime} { textbf {G}} ({ textbf {r} }, { textbf {r}} ^ { prime}) cdot { textbf {J}} ({ textbf {r}} ^ { prime}) ,}$

куда ${ displaystyle { textbf {G}} ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) ,}$ вот диадическая однородная функция Грина, заданная формулой

${ displaystyle { textbf {G}} ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) = { frac {1} {4 pi}} left [{ textbf {I}} + { frac { nabla nabla} {k ^ {2}}} right] G ({ textbf {r}}, { textbf {r}} ^ { prime}) ,}$

Интерпретация

EFIE описывает излучаемое поле E учитывая набор источников J, и как таковое это основное уравнение, используемое в антенна анализ и дизайн. Это очень общее соотношение, которое можно использовать для вычисления излучаемого поля антенны любого типа, если известно распределение тока на ней. Наиболее важным аспектом EFIE является то, что он позволяет решить проблему излучения / рассеяния в неограниченный регион, либо тот, граница которого находится в бесконечность. Для закрытых поверхностей можно использовать интегральное уравнение магнитного поля или комбинированное интегральное уравнение поля, оба из которых приводят к набору уравнений с улучшенным числом обусловленности по сравнению с EFIE. Однако MFIE и CFIE все еще могут содержать резонансы.

В задачах рассеяния желательно определять неизвестное рассеянное поле ${ displaystyle E_ {s}}$ это связано с известным полем инцидента ${ displaystyle E_ {i}}$. К сожалению, EFIE связывает разбросанный поле для J, а не поле инцидента, поэтому мы не знаем, что J является. Такого рода проблему можно решить, наложив граничные условия на поле инцидента и рассеянного поля, что позволяет записывать EFIE в терминах ${ displaystyle E_ {i}}$ и J один. Как только это будет сделано, интегральное уравнение может быть решено численным методом, соответствующим интегральным уравнениям, таким как метод моментов.

Примечания

Посредством Теорема Гельмгольца векторное поле полностью описывается своей дивергенцией и ротором. Поскольку расходимость не была определена, мы оправданы выбором условия калибровки Лоренца выше при условии, что мы последовательно используем это определение расходимости А во всем последующем анализе. Однако другие варианты ${ Displaystyle набла cdot mathbf {A}}$ так же действительны и приводят к другим уравнениям, которые все описывают одни и те же явления, и решениям уравнений для любого выбора ${ Displaystyle набла cdot mathbf {A}}$ приводят к одним и тем же электромагнитным полям, и те же физические предсказания о полях и зарядах ускоряются ими.

Естественно думать, что если величина демонстрирует эту степень свободы в своем выборе, то ее нельзя интерпретировать как реальную физическую величину. В конце концов, если мы можем свободно выбирать ${ Displaystyle набла cdot mathbf {A}}$ быть чем угодно, тогда ${ displaystyle mathbf {A}}$ не уникален. Возникает вопрос: какова «истинная» ценность ${ displaystyle mathbf {A}}$ измеряли в эксперименте? Если ${ displaystyle mathbf {A}}$ не уникальна, то единственный логический ответ должен заключаться в том, что мы никогда не сможем измерить ценность ${ displaystyle mathbf {A}}$. На этом основании часто утверждают, что это ненастоящая физическая величина, и считают, что поля ${ displaystyle mathbf {E}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$ являются истинными физическими величинами.

Однако есть по крайней мере один эксперимент, в котором значение ${ displaystyle mathbf {E}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$ оба равны нулю в месте нахождения заряженной частицы, но, тем не менее, на него влияет наличие локального магнитного векторного потенциала; увидеть Эффект Ааронова – Бома для подробностей. Тем не менее даже в эксперименте Ааронова – Бома расходимость ${ displaystyle mathbf {A}}$ никогда не входит в расчеты; Только ${ Displaystyle набла раз mathbf {A}}$ вдоль пути частицы определяет измеримый эффект.

Рекомендации

• Гибсон, Уолтон С. Метод моментов в электромагнетизме.. Чепмен и Холл / CRC, 2008. ISBN 978-1-4200-6145-1
• Харрингтон, Роджер Ф. Гармонические по времени электромагнитные поля. McGraw-Hill, Inc., 1961 год. ISBN 0-07-026745-6.
• Баланис, Константин А. Передовая инженерная электромагнетизм. Wiley, 1989. ISBN 0-471-62194-3.
• Чу, Вен С. Волны и поля в неоднородных средах.. IEEE Press, 1995. ISBN 0-7803-4749-8.
• Рао, Уилтон, Глиссон. Электромагнитное рассеяние на поверхностях произвольной формы.. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol, AP-30, No. 3, May 1982. DOI: 10.1109 / TAP.1982.1142818