WikiDer > Эквивалентность (теория меры)

Equivalence (measure theory)

В математика, и особенно в теория меры, эквивалентность это понятие двух меры будучи качественно похожими. В частности, эти две меры согласовывают, какие события имеют нулевую оценку.

Определение

Позволять и быть двумя меры на измеримом пространстве , и разреши

и

быть наборами -нулевые наборы и -null устанавливает соответственно. Тогда мера как говорят абсолютно непрерывный в отношении если только . Это обозначается как .

Эти две меры называются эквивалентными, если и только если и ,[1] который обозначается как . То есть две меры эквивалентны, если они удовлетворяют .

Примеры

На реальной линии

Определите две меры на реальная линия в качестве

для всех Наборы Бореля . потом и эквивалентны, поскольку все множества вне имеют и мера ноль, а набор внутри это -null set или a -null устанавливается именно тогда, когда это нулевой набор по отношению к Мера Лебега.

Абстрактное пространство меры

Посмотрите на какое-то измеримое пространство и разреши быть счетная мера, так

,

куда это мощность из набора a. Таким образом, счетная мера имеет только один нулевой набор, который является пустой набор. То есть, . Итак, согласно второму определению, любая другая мера эквивалентен счетной мере, если он также имеет только пустое множество в качестве единственного -Нулевой набор.

Поддерживающие меры

Мера называется поддерживающая мера меры если является -конечный и эквивалентно .[2]

Рекомендации

  1. ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 156. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  2. ^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 21. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.