WikiDer > Суммирование Эйлера – Буля - Википедия

Суммирование Эйлера – Буля это метод суммирования чередующийся ряд на основе Полиномы Эйлера, которые определяются

${ displaystyle { frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} E_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Концепция названа в честь Леонард Эйлер и Джордж Буль.

Периодические функции Эйлера:

${ displaystyle { widetilde {E}} _ {n} (x + 1) = - { widetilde {E}} _ {n} (x) { text {и}} { widetilde {E}} _ {n} (x) = E_ {n} (x) { text {for}} 0$

Формула Эйлера – Буля для суммирования знакопеременных рядов:

${ displaystyle sum _ {j = a} ^ {n-1} (- 1) ^ {j} f (j + h) = { frac {1} {2}} sum _ {k = 0} ^ {m-1} { frac {E_ {k} (h)} {k!}} left ((- 1) ^ {n-1} f ^ {(k)} (n) + (- 1 ) ^ {a} f ^ {(k)} (a) right) + { frac {1} {2 (m-1)!}} int _ {a} ^ {n} f ^ {(m )} (x) { widetilde {E}} _ {m-1} (hx) , dx,}$

куда ${ displaystyle a, m, n in mathbb {N}, a$ и ${ displaystyle f ^ {(k)}}$ это k-я производная.

Рекомендации

• Джонатан М. Борвейн, Нил Дж. Калкин, Данте Манна: Возвращение к суммированию Эйлера – Буля. Американский математический ежемесячник, Vol. 116, № 5 (май 2009 г.), стр. 387–412 (онлайн, JSTOR)
• Нико М. Темме: Специальные функции: введение в классические функции математической физики. Wiley, 2011 г., ISBN 9781118030813, стр. 17–18