WikiDer > Система Эйлера

Euler system

В математика, Система Эйлера представляет собой набор совместимых элементов Когомологии Галуа группы, проиндексированные поля. Их представил Колывагин (1990) в своей работе над Очки Хегнера на модульные эллиптические кривые, что было мотивировано его более ранней статьей Колывагин (1988) и работа Тейн (1988). Системы Эйлера названы в честь Леонард Эйлер поскольку факторы, связывающие различные элементы системы Эйлера, напоминают Факторы Эйлера из Произведение Эйлера.

Системы Эйлера могут быть использованы для построения аннигиляторов идеальные группы классов или Группы Зельмера, тем самым давая оценки их порядков, что, в свою очередь, привело к глубоким теоремам, таким как конечность некоторых Группы Тейт-Шафаревич. Это привело к Карл Рубинновое доказательство основная гипотеза теории Ивасавы, считается более простым, чем первоначальное доказательство, благодаря Барри Мазур и Эндрю Уайлс.

Определение

Хотя существует несколько определений особых видов системы Эйлера, похоже, что нет опубликованного определения системы Эйлера, которое бы охватывало все известные случаи. Но можно примерно сказать, что такое система Эйлера, следующим образом:

  • Система Эйлера задается набором элементов cF. Эти элементы часто индексируются определенными числовыми полями. F содержащий некоторое поле с фиксированным числом K, или чем-то тесно связанным, например целыми числами без квадратов. Элементы cF обычно являются элементами некоторой группы когомологий Галуа, такой как H1(F, Т) где Т это п-адическое представление абсолютная группа Галуа из K.
  • Самое главное условие - чтобы элементы cF и cграмм для двух разных полей F ⊆ грамм связаны простой формулой, например
Здесь «фактор Эйлера» п(τ |B;Икс) определяется как элемент det (1-τИкс|B) рассматривается как элемент O [Икс], который при Икс случается действовать на B не то же самое, что det (1-τИкс|B) рассматривается как элемент О.
  • Могут быть и другие условия, при которых cF должны удовлетворять, например, условиям конгруэнтности.

Казуя Като ссылается на элементы в системе Эйлера как на «арифметические воплощения дзета» и описывает свойство быть системой Эйлера как «арифметическое отражение того факта, что эти воплощения связаны с особыми значениями произведений Эйлера».[1]

Примеры

Циклотомические единицы

Для каждого положительного целого числа без квадратов п выбрать п-корень ζп из 1, где ζмлн = ζмζп за м,п coprime. Тогда круговая система Эйлера - это набор чисел αп = 1 - ζп. Они удовлетворяют отношениям

по модулю всех простых чисел выше л

где л простое число, не делящее п и Fл является автоморфизмом Фробениуса с Fлп) = ζл
п
Колывагин использовал эту систему Эйлера для элементарного доказательства Гипотеза Гра.

Суммы Гаусса

Эллиптические единицы

Очки Хегнера

Колывагин построил систему Эйлера из Очки Хегнера эллиптической кривой и использовал это, чтобы показать, что в некоторых случаях Группа Тейт-Шафаревич конечно.

Система Эйлера Като

Система Эйлера Като состоит из определенных элементов, встречающихся в алгебраическая K-теория из модульные кривые. Эти элементы - названные Элементы Бейлинсона после Александр Бейлинсон кто представил их в Бейлинсон (1984)- использовались Кадзуей Като в Като (2004) для доказательства одной делимости в предложении Барри Мазура основная гипотеза теории Ивасавы за эллиптические кривые.[2]

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка