WikiDer > Расширенный метод конечных элементов

2D МКЭ сетка, треугольники - элементы, вершины являются узлы. В метод конечных элементов (МКЭ) был предпочтительным инструментом с тех пор, как инженер-строитель Рэй В. Клаф в 1940 г. получил матрицу жесткости трехузлового конечного элемента треугольной формы (и придумал название). Предшественниками МКЭ были элементы, построенные из стержней (Hrennikoff, Аргирис, Тернер) и концептуальный вариационный подход, предложенный Р. Курант. Сегодня МКЭ используется для моделирования гораздо более широкого круга физических явлений.

В расширенный метод конечных элементов (XFEM), представляет собой численный метод, основанный на обобщенный метод конечных элементов (GFEM) и метод разделения единства (НАСОС). Он расширяет классический метод конечных элементов (FEM) подход, обогащая пространство решений для решений дифференциальные уравнения с разрывными функциями.

История

Расширенный метод конечных элементов (XFEM) был разработан в 1999 г. Тед Беличко и сотрудники,^[1]чтобы помочь устранить недостатки метода конечных элементов и использовался для моделирования распространения различных несплошностей: сильные (трещины) и слабые (границы раздела материалов). Идея XFEM состоит в том, чтобы сохранить большинство преимуществ бессеточных методов, смягчив их отрицательные стороны.

Обоснование

Расширенный метод конечных элементов был разработан для облегчения трудностей при решении проблем с локализованными элементами, которые не решаются эффективно путем уточнения сетки. Одним из первых приложений было моделирование переломы в материале. В этой первоначальной реализации прерывистые базисные функции добавляются к стандартным полиномиальным базисным функциям для узлов, которые принадлежали элементам, пересекаемым трещиной, чтобы обеспечить основу, включающую смещения раскрытия трещины. Ключевым преимуществом XFEM является то, что в таких задачах не требуется обновлять сетку конечных элементов для отслеживания пути трещины. Последующие исследования продемонстрировали более общее использование этого метода для решения проблем, связанных с особенности, интерфейсы материалов, регулярное объединение микроструктурных элементов, таких как пустоты, и другие проблемы, в которых локализованный элемент может быть описан с помощью соответствующего набора базовых функций.

Принцип

Обогащенные методы конечных элементов расширяют или обогащают пространство аппроксимации, так что оно может естественным образом воспроизводить сложную особенность, связанную с интересующей проблемой: прерывность, необычность, пограничный слойи т. д. Было показано, что для некоторых задач такое вложение признака задачи в пространство приближений может значительно улучшить скорость сходимости и точность. Более того, обработка проблем с разрывами с помощью методов eXtendedFinite Element Methods устраняет необходимость в сетке и изменении сетки поверхностей разрыва, тем самым облегчая вычислительные затраты и ошибки проекции, связанные с обычными методами конечных элементов, за счет ограничения разрывов до краев сетки.

Существующие коды XFEM

Существует несколько исследовательских кодов, реализующих эту технику в той или иной степени.

• GetFEM ++
• xfem ++
• openxfem ++
• Dynaflow
• экслибрис

XFEM также был реализован в виде кода Альтаир Radioss, АСТЕР, Морфео и Abaqus. Он все чаще внедряется в другое коммерческое программное обеспечение для конечных элементов с несколькими доступными плагинами и фактическими базовыми реализациями (ANSYS, SAMCEF, ОФЕЛИ, так далее.).

Рекомендации