WikiDer > Поверхность Фано

Fano surface
За Разновидности Фано размерности 2, см. поверхность дель Пеццо. О проективной плоскости над полем с двумя элементами см. Самолет Фано.

В алгебраической геометрии a Поверхность Фано это поверхность общего типа (особенно, нет а Сорт Фано), точки которого нумеруют прямые на неособой кубическая тройная. Впервые они были изучены Фано (1904).

Алмаз Ходжа:

1
55
102510
55
1

Поверхности Фано, пожалуй, самые простые и наиболее изученные примеры нерегулярных поверхностей общего типа, которые не связаны с произведением двух кривых и не являются полным пересечением дивизоров в абелевом многообразии.

Поверхность Фано S гладкого трехмерного кубического многообразия F в п4 обладает многими замечательными геометрическими свойствами. поверхность S естественным образом вкладывается в грассманиан прямых G (2,5) п4. Пусть U - ограничение на S универсального расслоения ранга 2 на G. Имеем:

Теорема о касательном расслоении (Фано, Клеменс-Гриффитс, Тюрин): касательное расслоение к S изоморфно U.

Это довольно интересный результат, потому что априори не должно быть связи между этими двумя связками. У него много мощных приложений. Например, можно восстановить тот факт, что котангенс пространства S порождается глобальными секциями. Это пространство глобальных 1-форм можно отождествить с пространством глобальных сечений тавтологического линейного расслоения O (1), ограниченного кубикой F, и более того:

Теорема типа Торелли: Пусть g '- естественный морфизм из S в грассманиан G (2,5), определенный кокасательным пучком S, порожденным его 5-мерным пространством глобальных сечений. Пусть F '- объединение прямых, соответствующих g' (S). Трехмерное многообразие F 'изоморфно F.

Таким образом, зная поверхность Фано S, мы можем восстановить трехмерное многообразие F. С помощью теоремы о касательном расслоении мы также можем геометрически понять инварианты S:

а) Напомним, что второе число Черна векторного расслоения ранга 2 на поверхности - это количество нулей общего сечения. Для поверхности Фано S 1-форма w определяет также гиперплоское сечение {w = 0} на п4 кубики F. Нули общего w на S биективно соответствуют количеству прямых в пересечении гладкой кубической поверхности кубики {w = 0} и F, поэтому мы получаем, что второй класс Черна группы S равен 27.

б) Пусть ш1, ш2 - две 1-формы на S. Канонический дивизор K на S, связанный с канонической формой ш1 ∧ ш2 параметризует прямые на F, пересекающие плоскость P = {ш1=ш2= 0} в п4. С помощью ш1 и ш2 такое, что пересечение P и F является объединением 3 прямых, можно восстановить тот факт, что K2= 45. Приведем некоторые детали этого вычисления: от общей точки кубики F проходит 6 прямых. Пусть s - точка на S и Ls - соответствующая прямая на кубике F. Пусть Cs - дивизор на S параметризующих прямых, пересекающих прямую Ls. Самопересечение Cs равно числу пересечений Cs и Cт для t общая точка. Пересечение Cs и Cт - множество прямых на F, пересекающее непересекающиеся прямые Ls и ят. Рассмотрим линейную оболочку Ls и ят : это гиперплоскость в п4 который разрезает F на гладкую кубическую поверхность. По хорошо известным результатам для кубической поверхности количество прямых, пересекающих две непересекающиеся прямые, равно 5, поэтому мы получаем (Cs) 2 =Cs Cт= 5, поскольку K численно эквивалентно 3Cs, получаем K 2 =45.

в) Естественное составное отображение: S -> G (2,5) -> п9 - каноническое отображение S. Это вложение.

Смотрите также

Рекомендации