WikiDer > Интегральный оператор Фурье

Fourier integral operator

В математический анализ, Интегральные операторы Фурье стали важным инструментом в теории уравнения в частных производных. Класс интегральных операторов Фурье содержит дифференциальные операторы а также классический интегральные операторы как особые случаи.

Интегральный оператор Фурье дан кем-то:

куда обозначает преобразование Фурье , это стандартный символ который компактно поддерживается в и вещественнозначен и однороден степени в . Также необходимо потребовать, чтобы при поддержке а. В этих условиях, если а имеет нулевой порядок, можно показать, что определяет ограниченный оператор из к .[1]

Примеры

Одним из мотивов изучения интегральных операторов Фурье является оператор решения начальной задачи для волнового оператора. Действительно, рассмотрим следующую проблему:

и

Решение этой проблемы дает

Их нужно интерпретировать как осциллирующие интегралы, поскольку они, как правило, не сходятся. Формально это выглядит как сумма двух интегральных операторов Фурье, однако коэффициенты в каждом из интегралов не гладкие в начале координат и, следовательно, не стандартные символы. Если вырезать эту особенность с помощью срезающей функции, то полученные таким образом операторы по-прежнему будут обеспечивать решения начальной задачи по модулю гладких функций. Таким образом, если нас интересует только распространение особенностей начальных данных, достаточно рассмотреть такие операторы. Фактически, если мы позволим скорости звука c в волновом уравнении изменяться в зависимости от положения, мы все равно сможем найти интегральный оператор Фурье, который дает решение по модулю гладких функций, и интегральные операторы Фурье, таким образом, предоставляют полезный инструмент для изучения распространения сингулярностей решения волновых уравнений с переменной скоростью и, в более общем плане, других гиперболических уравнений.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Хёрмандер, Ларс (1970), "Интегральные операторы Фурье. I", Acta Mathematica, Springer Нидерланды, 127: 79–183, Дои:10.1007 / BF02392052

Рекомендации

  • Элиас Штайн, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы. Издательство Принстонского университета, 1993. ISBN 0-691-03216-5
  • Ф. Тревес, Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co., 1981. ISBN 0-306-40404-4
  • J.J. Duistermaat, Интегральные операторы Фурье, (Прогресс в математике), Биркхойзер, 1995. ISBN 0-8176-3821-0

внешняя ссылка