В кристаллография , а дробная система координат это система координат в котором края ячейка используются в качестве основных векторов для описания положения атомных ядер. Элементарная ячейка представляет собой параллелепипед определяется длиной его ребер а , б , c {displaystyle a, b, c} α , β , γ {displaystyle alpha, eta, gamma}
Общий случай
Рассмотрим систему периодической структуры в пространстве и воспользуемся а {displaystyle {mathbf {a}}} б {displaystyle mathbf {b}} c {displaystyle mathbf {c}} р {displaystyle mathbf {r}}
р = ты а + v б + ш c . {displaystyle {mathbf {r}} = u {mathbf {a}} + v {mathbf {b}} + w {mathbf {c}}.} Наша задача - вычислить скалярные коэффициенты, известные как дробные координаты ты {displaystyle u} v {displaystyle v} ш {displaystyle w} р {displaystyle mathbf {r}} а {displaystyle mathbf {a}} б {displaystyle mathbf {b}} c {displaystyle mathbf {c}}
Для этого вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки
σ а = б × c , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = {mathbf {b}} imes {mathbf {c}},} тогда
б ⋅ σ а = 0 , c ⋅ σ а = 0 , {displaystyle {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = 0, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = 0,} а объем ячейки равен
Ω = а ⋅ σ а . {displaystyle Omega = {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}.} Если мы сделаем векторное внутреннее (точечное) произведение следующим образом
р ⋅ σ а = ты а ⋅ σ а + v б ⋅ σ а + ш c ⋅ σ а = ты а ⋅ σ а = ты Ω , {displaystyle {egin {align} {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} & = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} & = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma } _ {mathbf {a}} & = uOmega, конец {выровнен}}} тогда мы получаем
ты = 1 Ω р ⋅ σ а . {displaystyle u = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}}.} Так же,
σ б = c × а , c ⋅ σ б = 0 , а ⋅ σ б = 0 , б ⋅ σ б = Ω , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = {mathbf {c}} imes {mathbf {a}}, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = 0, { mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = 0, {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = Omega,} р ⋅ σ б = ты а ⋅ σ б + v б ⋅ σ б + ш c ⋅ σ б = v б ⋅ σ б = v Ω , {displaystyle {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = vOmega,} мы приходим к
v = 1 Ω р ⋅ σ б , {displaystyle v = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}},} и
σ c = а × б , а ⋅ σ c = 0 , б ⋅ σ c = 0 , c ⋅ σ c = Ω , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = {mathbf {a}} imes {mathbf {b}}, {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = 0, { mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = 0, {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = Omega,} р ⋅ σ c = ты а ⋅ σ c + v б ⋅ σ c + ш c ⋅ σ c = ш c ⋅ σ c = ш Ω , {displaystyle {mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = u {mathbf {a}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} + v {mathbf {b}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} + w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = w {mathbf {c}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = wOmega,} ш = 1 Ω р ⋅ σ c . {displaystyle w = {frac {1} {Omega}} {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}}.} Если есть много р {displaystyle mathbf {r}}
ты = р ⋅ σ а ′ , v = р ⋅ σ б ′ , ш = р ⋅ σ c ′ , {displaystyle {egin {align} u & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime}}, v & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} ^ {prime}}, w & = {{mathbf {r}} cdot mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ {prime}}, конец {выровнен}}} где
σ а ′ = 1 Ω σ а , σ б ′ = 1 Ω σ б , σ c ′ = 1 Ω σ c . {displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}}, mathbf {sigma } _ {mathbf {b}} ^ {prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ { prime} = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}}. конец {выровнено}}} В кристаллографии
В кристаллография , длины ( а {displaystyle a} б {displaystyle b} c {displaystyle c} α {displaystyle alpha} β {displaystyle eta} γ {displaystyle gamma} а {displaystyle mathbf {a}} б {displaystyle mathbf {b}} c {displaystyle mathbf {c}} параллелепипед элементарные ячейки известны. Для простоты он выбран так, чтобы вектор ребра а {displaystyle mathbf {a}} Икс {displaystyle x} б {displaystyle mathbf {b}} Икс − y {displaystyle x-y} y {displaystyle y} c {displaystyle mathbf {c}} z {displaystyle z}
Определение элементарной ячейки с использованием параллелепипеда с длинами
а {displaystyle a} ,
б {displaystyle b} ,
c {displaystyle c} и углы между сторонами, заданные
α {displaystyle alpha} ,
β {displaystyle eta} , и
γ {displaystyle gamma} [1] Тогда векторы ребер можно записать как
а = ( а , 0 , 0 ) , б = ( б потому что ( γ ) , б грех ( γ ) , 0 ) , c = ( c Икс , c y , c z ) , {displaystyle {egin {align} {mathbf {a}} & = (a, 0,0), {mathbf {b}} & = (bcos (gamma), bsin (gamma), 0), {mathbf { c}} & = (c_ {x}, c_ {y}, c_ {z}), конец {выровнено}}} где все а {displaystyle a} б {displaystyle b} c {displaystyle c} грех ( γ ) {displaystyle sin (gamma)} c z {displaystyle c_ {z}} c {displaystyle mathbf {c}}
c ⋅ а = а c потому что ( β ) = c Икс а , c ⋅ б = б c потому что ( α ) = c Икс б потому что ( γ ) + c y б грех ( γ ) , c ⋅ c = c 2 = c Икс 2 + c y 2 + c z 2 . {displaystyle {egin {align} {mathbf {c}} cdot {mathbf {a}} & = accos (eta) = c_ {x} a, {mathbf {c}} cdot {mathbf {b}} & = bccos (альфа) = c_ {x} bcos (гамма) + c_ {y} bsin (гамма), {mathbf {c}} cdot {mathbf {c}} & = c ^ {2} = c_ {x} ^ { 2} + c_ {y} ^ {2} + c_ {z} ^ {2} .end {выровнено}}} потом
c Икс = c потому что ( β ) , c y = c потому что ( α ) − потому что ( γ ) потому что ( β ) грех ( γ ) , c z 2 = c 2 − c Икс 2 − c y 2 = c 2 { 1 − потому что 2 ( β ) − [ потому что ( α ) − потому что ( γ ) потому что ( β ) ] 2 грех 2 ( γ ) } . {displaystyle {egin {выровнено} c_ {x} & = ccos (eta), c_ {y} & = c {frac {cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)} {sin (gamma)}} , c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} -c_ {x} ^ {2} -c_ {y} ^ {2} = c ^ {2} left {1-cos ^ {2} (eta) - {frac {[cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gamma)}} ight} .end {выровнено}}} Последний продолжается
c z 2 = c 2 грех 2 ( γ ) − грех 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) − [ потому что ( α ) − потому что ( γ ) потому что ( β ) ] 2 грех 2 ( γ ) = c 2 грех 2 ( γ ) { грех 2 ( γ ) − грех 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) − [ потому что ( α ) − потому что ( γ ) потому что ( β ) ] 2 } {displaystyle {egin {align} c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} {frac {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gamma)}} & = {frac {c ^ {2}} {sin ^ {2} (гамма)}} left {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ { 2} ight} конец {выровнено}}} где
грех 2 ( γ ) − грех 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) − [ потому что ( α ) − потому что ( γ ) потому что ( β ) ] 2 = грех 2 ( γ ) − грех 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) − потому что 2 ( α ) − потому что 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) + 2 потому что ( α ) потому что ( γ ) потому что ( β ) = грех 2 ( γ ) − потому что 2 ( α ) − грех 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) − потому что 2 ( γ ) потому что 2 ( β ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) = грех 2 ( γ ) − потому что 2 ( α ) − [ грех 2 ( γ ) + потому что 2 ( γ ) ] потому что 2 ( β ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) = грех 2 ( γ ) − потому что 2 ( α ) − потому что 2 ( β ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) = 1 − потому что 2 ( α ) − потому что 2 ( β ) − потому что 2 ( γ ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) . {displaystyle {egin {выровнено} & sin ^ {2} (гамма) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (eta) - [cos (альфа) -cos (гамма) cos (eta)] ^ { 2} & = sin ^ {2} (гамма) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) -cos ^ {2} (альфа) -cos ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (гамма) cos (эта) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) -cos ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) - [sin ^ {2} (гамма) + cos ^ {2} (гамма)] cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) -cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = 1-cos ^ {2} ( alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gamma) + 2cos (alpha) cos (eta) cos (gamma) .end {выровнено}}} Вспоминая c z {displaystyle c_ {z}} c {displaystyle c} грех ( γ ) {displaystyle sin (gamma)}
c z = c грех ( γ ) 1 − потому что 2 ( α ) − потому что 2 ( β ) − потому что 2 ( γ ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) . {displaystyle c_ {z} = {frac {c} {sin (gamma)}} {sqrt {1-cos ^ {2} (alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gamma) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма)}}.} Поскольку по модулю площадь нижней поверхности ячейки равна
| σ c | = а б грех ( γ ) , {displaystyle left | mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ight | = absin (гамма),} объем ячейки параллелепипеда также можно выразить как
Ω = c z | σ c | = а б c 1 − потому что 2 ( α ) − потому что 2 ( β ) − потому что 2 ( γ ) + 2 потому что ( α ) потому что ( β ) потому что ( γ ) {displaystyle Omega = c_ {z} left | mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ight | = abc {sqrt {1-cos ^ {2} (alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (гамма) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма)}}} [2] После расчета объема, как указано выше,
c z = Ω а б грех ( γ ) . {displaystyle c_ {z} = {frac {Omega} {абсин (гамма)}}.} Подведем итог выражению векторов ребер (периодов)
а = ( а Икс , а y , а z ) = ( а , 0 , 0 ) , б = ( б Икс , б y , б z ) = ( б потому что ( γ ) , б грех ( γ ) , 0 ) , c = ( c Икс , c y , c z ) = ( c потому что ( β ) , c потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) грех ( γ ) , Ω а б грех ( γ ) ) . {displaystyle {egin {выровнено} {mathbf {a}} & = ({a} _ {x}, {a} _ {y}, {a} _ {z}) = (a, 0,0), {mathbf {b}} & = ({b} _ {x}, {b} _ {y}, {b} _ {z}) = (bcos (гамма), bsin (гамма), 0), { mathbf {c}} & = ({c} _ {x}, {c} _ {y}, {c} _ {z}) = (ccos (eta), c {frac {cos (alpha) -cos ( eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}}, {frac {Omega} {absin (gamma)}}). конец {выровнено}}} Преобразование из декартовых координат Давайте сначала вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки
σ а = ( σ а , Икс , σ а , y , σ а , z ) = б × c , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z}) = {mathbf {b}} imes {mathbf {c}},} где
σ а , Икс = б y c z − б z c y = б грех ( γ ) Ω а б грех ( γ ) = Ω а , σ а , y = б z c Икс − б Икс c z = − б потому что ( γ ) Ω а б грех ( γ ) = − Ω потому что ( γ ) а грех ( γ ) , σ а , z = б Икс c y − б y c Икс = б потому что ( γ ) c потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) грех ( γ ) − б грех ( γ ) c потому что ( β ) = б c { потому что ( γ ) потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) грех ( γ ) − грех ( γ ) потому что ( β ) } = б c грех ( γ ) { потому что ( γ ) [ потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) ] − грех 2 ( γ ) потому что ( β ) } = б c грех ( γ ) { потому что ( γ ) потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что 2 ( γ ) − грех 2 ( γ ) потому что ( β ) } = б c грех ( γ ) { потому что ( α ) потому что ( γ ) − потому что ( β ) } . {displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x} & = {b} _ {y} {c} _ {z} - {b} _ {z} {c} _ {y } = bsin (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = {frac {Omega} {a}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y} & = {b} _ { z} {c} _ {x} - {b} _ {x} {c} _ {z} = - bcos (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = - {frac {Omega cos ( гамма)} {asin (гамма)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z} & = {b} _ {x} {c} _ {y} - {b} _ {y} { c} _ {x} = bcos (gamma) c {frac {cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} - bsin (gamma) ccos (eta) & = bcleft { cos (gamma) {frac {cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} - sin (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin ( gamma)}} left {cos (gamma) [cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)] - sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin (гамма)}} left {cos (gamma) cos (alpha) -cos (eta) cos ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc } {sin (gamma)}} left {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta) ight}. end {выравнивается}}} Другой вектор площади поверхности клетки
σ б = ( σ б , Икс , σ б , y , σ б , z ) = c × а , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, z}) = {mathbf {c}} imes {mathbf {a}},} где
σ б , Икс = c y а z − c z а y = 0 , σ б , y = c z а Икс − c Икс а z = а Ω а б грех ( γ ) = Ω б грех ( γ ) , σ б , z = c Икс а y − c y а Икс = − а c потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) грех ( γ ) = а c грех ( γ ) { потому что ( β ) потому что ( γ ) − потому что ( α ) } . {displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, x} & = {c} _ {y} {a} _ {z} - {c} _ {z} {a} _ {y } = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, y} & = {c} _ {z} {a} _ {x} - {c} _ {x} {a} _ {z} = a {frac {Omega} {absin (гамма)}} = {frac {Omega} {bsin (gamma)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {b}, z} & = {c} _ {x} {a} _ {y} - {c} _ {y} {a} _ {x} = - ac {frac {cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} & = {frac {ac} {sin (gamma)}} left {cos (eta) cos (gamma) -cos (alpha) ight} .end {выровнено}}} Последний вектор площади поверхности ячейки
σ c = ( σ c , Икс , σ c , y , σ c , z ) = а × б , {displaystyle mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} = (mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, x}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, y}, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, z}) = {mathbf {a}} imes {mathbf {b}},} где
σ c , Икс = а y б z − а z б y = 0 , σ c , y = а z б Икс − а Икс б z = 0 , σ c , z = а Икс б y − а y б Икс = а б грех ( γ ) . {displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, x} & = {a} _ {y} {b} _ {z} - {a} _ {z} {b} _ {y } = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, y} & = {a} _ {z} {b} _ {x} - {a} _ {x} {b} _ {z} = 0, mathbf {sigma} _ {mathbf {c}, z} & = {a} _ {x} {b} _ {y} - {a} _ {y} {b} _ {x} = абсин ( гамма) .end {выровнено}}} Подвести итог
σ а ′ = 1 Ω σ а = ( 1 а , − потому что ( γ ) а грех ( γ ) , б c потому что ( α ) потому что ( γ ) − потому что ( β ) Ω грех ( γ ) ) , σ б ′ = 1 Ω σ б = ( 0 , 1 б грех ( γ ) , а c потому что ( β ) потому что ( γ ) − потому что ( α ) Ω грех ( γ ) ) , σ c ′ = 1 Ω σ c = ( 0 , 0 , а б грех ( γ ) Ω ) . {displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {a}}} = left ({ frac {1} {a}}, - {frac {cos (gamma)} {asin (gamma)}}, bc {frac {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta)} {Omega sin (gamma) }} ight), mathbf {sigma} _ {mathbf {b}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {b}}} = left (0, {frac {1} {bsin (gamma)}}, ac {frac {cos (eta) cos (gamma) -cos (alpha)} {Omega sin (gamma)}} ight), mathbf {sigma} _ {mathbf {c}} ^ {prime} & = {frac {1} {Omega}} {mathbf {sigma} _ {mathbf {c}}} = left (0,0, {frac {absin (gamma)} {Omega}) } ight) .end {выровнено}}} Как результат[3]
[ ты v ш ] = [ 1 а − потому что ( γ ) а грех ( γ ) б c потому что ( α ) потому что ( γ ) − потому что ( β ) Ω грех ( γ ) 0 1 б грех ( γ ) а c потому что ( β ) потому что ( γ ) − потому что ( α ) Ω грех ( γ ) 0 0 а б грех ( γ ) Ω ] [ Икс y z ] {displaystyle left [{egin {matrix} u v wend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} {frac {1} {a}} & - {frac {cos (gamma)} {asin ( gamma)}} & bc {frac {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta)} {Omega sin (gamma)}} 0 & {frac {1} {bsin (gamma)}} & ac {frac {cos ( eta) cos (gamma) -cos (alpha)} {Omega sin (gamma)}} 0 & 0 & {frac {absin (gamma)} {Omega}} end {matrix}} ight] left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight]} где ( Икс {displaystyle (x}) y {displaystyle y} z ) {displaystyle z)} р {displaystyle mathbf {r}}
Преобразование в декартовы координаты Чтобы вернуть ортогональные координаты в Ангстремс из дробных координат можно использовать первое уравнение сверху и выражение векторов краев (периодов)[4] [5]
[ Икс y z ] = [ а б потому что ( γ ) c потому что ( β ) 0 б грех ( γ ) c потому что ( α ) − потому что ( β ) потому что ( γ ) грех ( γ ) 0 0 Ω а б грех ( γ ) ] [ ты v ш ] . {displaystyle left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a & bcos (gamma) & ccos (eta) 0 & bsin (gamma) & c {frac {cos (alpha) -]) cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} 0 & 0 & {frac {Omega} {absin (gamma)}} end {matrix}} ight] left [{egin {matrix} u v wend { матрица}} ight].} В частном случае моноклинная ячейка (общий случай) где α = γ = 90 ∘ {displaystyle alpha = gamma = 90 ^ {circ}} β > 90 ∘ {displaystyle eta> 90 ^ {circ}}
Икс = а ты + c ш потому что ( β ) , y = б v , z = Ω а б ш = c ш грех ( β ) . {displaystyle {egin {выравнивается} x & = au + cwcos (eta), y & = bv, z & = {frac {Omega} {ab}} w = cwsin (eta) .end {выравнивается}}} Поддерживаемые форматы файлов
использованная литература
^ "Определение элементарной ячейки с использованием параллелепипеда с длинами а , б , c и углы между краями, определяемые α , β , γ " . Ccdc.cam.ac.uk . Архивировано из оригинал на 2008-10-04. Получено 2016-08-17 .^ «Трансформация системы координат» . www.ruppweb.org . Получено 2016-10-19 .^ «Трансформация системы координат» . Ruppweb.org . Получено 2016-10-19 .^ Sussman, J .; Holbrook, S .; Церковь, G .; Ким, S (1977). «Процедура уточнения структурного фактора наименьших квадратов для макромолекулярных структур с использованием ограниченных и ограниченных параметров». Acta Crystallogr. А . 33 (5): 800–804. Bibcode :1977AcCrA..33..800S . CiteSeerX 10.1.1.70.8631 Дои :10.1107 / S0567739477001958 . ^ Россманн, М .; Блоу, Д. (1962). «Обнаружение субъединиц в кристаллографической асимметричной единице». Acta Crystallogr . 15 : 24–31. CiteSeerX 10.1.1.319.3019 Дои :10.1107 / S0365110X62000067 . 
![{displaystyle {egin {выровнено} c_ {x} & = ccos (eta), c_ {y} & = c {frac {cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)} {sin (gamma)}} , c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} -c_ {x} ^ {2} -c_ {y} ^ {2} = c ^ {2} left {1-cos ^ {2} (eta) - {frac {[cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gamma)}} ight} .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f4b2b245ad322aa239174a1c015a928cde0a45)
![{displaystyle {egin {align} c_ {z} ^ {2} & = c ^ {2} {frac {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ {2}} {sin ^ {2} (gamma)}} & = {frac {c ^ {2}} {sin ^ {2} (гамма)}} left {sin ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos ^ {2} (eta) - [cos (alpha) -cos (gamma) cos (eta)] ^ { 2} ight} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935e638c35a037b78b7b2bd379351fb7cbaf8691)
![{displaystyle {egin {выровнено} & sin ^ {2} (гамма) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (eta) - [cos (альфа) -cos (гамма) cos (eta)] ^ { 2} & = sin ^ {2} (гамма) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) -cos ^ {2} (альфа) -cos ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (гамма) cos (эта) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) -sin ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) -cos ^ {2} (гамма) cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) - [sin ^ {2} (гамма) + cos ^ {2} (гамма)] cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = sin ^ {2} (гамма) -cos ^ {2} (альфа) -cos ^ {2} (эта) + 2cos (альфа) cos (эта) cos (гамма) & = 1-cos ^ {2} ( alpha) -cos ^ {2} (eta) -cos ^ {2} (gamma) + 2cos (alpha) cos (eta) cos (gamma) .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84639c5dd72fa894c1b432deb4a37048ec16689c)
![{displaystyle {egin {align} mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, x} & = {b} _ {y} {c} _ {z} - {b} _ {z} {c} _ {y } = bsin (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = {frac {Omega} {a}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, y} & = {b} _ { z} {c} _ {x} - {b} _ {x} {c} _ {z} = - bcos (gamma) {frac {Omega} {absin (gamma)}} = - {frac {Omega cos ( гамма)} {asin (гамма)}}, mathbf {sigma} _ {mathbf {a}, z} & = {b} _ {x} {c} _ {y} - {b} _ {y} { c} _ {x} = bcos (gamma) c {frac {cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} - bsin (gamma) ccos (eta) & = bcleft { cos (gamma) {frac {cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} - sin (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin ( gamma)}} left {cos (gamma) [cos (alpha) -cos (eta) cos (gamma)] - sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc} {sin (гамма)}} left {cos (gamma) cos (alpha) -cos (eta) cos ^ {2} (gamma) -sin ^ {2} (gamma) cos (eta) ight} & = {frac {bc } {sin (gamma)}} left {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta) ight}. end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadbb81a1bf8feb74e2a08963ebe9b631ef39bcf)
![{displaystyle left [{egin {matrix} u v wend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} {frac {1} {a}} & - {frac {cos (gamma)} {asin ( gamma)}} & bc {frac {cos (alpha) cos (gamma) -cos (eta)} {Omega sin (gamma)}} 0 & {frac {1} {bsin (gamma)}} & ac {frac {cos ( eta) cos (gamma) -cos (alpha)} {Omega sin (gamma)}} 0 & 0 & {frac {absin (gamma)} {Omega}} end {matrix}} ight] left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbf2aa3407bf0ee76088a2a068ba2fcd067d7cd)
![{displaystyle left [{egin {matrix} x y zend {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} a & bcos (gamma) & ccos (eta) 0 & bsin (gamma) & c {frac {cos (alpha) -]) cos (eta) cos (gamma)} {sin (gamma)}} 0 & 0 & {frac {Omega} {absin (gamma)}} end {matrix}} ight] left [{egin {matrix} u v wend { матрица}} ight].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e44ae0b4bf199429eb0763ac90ea96872c37690)
