WikiDer > Функционально-дифференциальное уравнение

Functional differential equation

А функционально-дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом. То есть функционально-дифференциальное уравнение - это уравнение, которое содержит некоторую функцию и некоторые ее производные с различными значениями аргумента.[1]

Функционально-дифференциальные уравнения находят применение в математических моделях, которые предполагают, что определенное поведение или явление зависит от настоящего, а также от прошлого состояния системы.[2] Другими словами, прошлые события явно влияют на будущие результаты. По этой причине во многих приложениях используются функционально-дифференциальные уравнения, а не обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в котором будущее поведение только неявно зависит от прошлого.

Определение

В отличие от обычных дифференциальных уравнений, которые содержат функцию одной переменной и ее производные, вычисляемые с одним и тем же входом, функционально-дифференциальные уравнения содержат функцию и ее производные, оцениваемые с разными входными значениями.

  • Примером обыкновенного дифференциального уравнения может быть
  • Для сравнения, функционально-дифференциальное уравнение было бы

Простейший тип функционально-дифференциального уравнения, называемый запаздывающее функционально-дифференциальное уравнение или запаздывающее дифференциально-разностное уравнение, имеет вид[3]

Примеры

Простейшим фундаментальным функционально-дифференциальным уравнением является линейное дифференциальное уравнение первого порядка с запаздыванием.[4] который дается

где константы, - некоторая непрерывная функция, а является скаляром. Ниже представлена ​​таблица со сравнением нескольких обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений.

Обыкновенное дифференциальное уравнениеФункционально-дифференциальное уравнение
Примеры

Типы функционально-дифференциальных уравнений

«Функциональное дифференциальное уравнение» - это общее название ряда более конкретных типов дифференциальных уравнений, которые используются во многих приложениях. Существуют дифференциальные уравнения с запаздыванием, интегро-дифференциальные уравнения и т. Д.

Дифференциально-разностное уравнение

Дифференциально-разностные уравнения - это функционально-дифференциальные уравнения, в которых значения аргументов дискретны.[1] Общая форма функционально-дифференциальных уравнений конечного числа дискретных отклоняющихся аргументов имеет вид

где и

Дифференциально-разностные уравнения также называют отсталый, нейтральный, продвинутый, и смешанный функционально-дифференциальные уравнения. Эта классификация зависит от того, зависит ли скорость изменения текущего состояния системы от прошлых значений, будущих значений или того и другого.[5]

Классификации дифференциально-разностных уравнений[6]
Отсталый
Нейтральный
Продвинутый

Дифференциальное уравнение задержки

Функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа возникают при для уравнения, приведенного выше. Другими словами, этот класс функционально-дифференциальных уравнений зависит от прошлого и настоящего значений функции с запаздыванием.

Простым примером запаздывающего функционально-дифференциального уравнения является

тогда как более общая форма для дискретных отклоняющихся аргументов может быть записана как

Нейтральные дифференциальные уравнения

Функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа или нейтральные дифференциальные уравнения возникают, когда

Нейтральные дифференциальные уравнения зависят от прошлых и настоящих значений функции, аналогично запаздывающим дифференциальным уравнениям, за исключением того, что они также зависят от производных с запаздыванием. Другими словами, дифференциальные уравнения с запаздыванием не включают производную заданной функции с запаздыванием, в отличие от нейтральных дифференциальных уравнений.

Интегро-дифференциальное уравнение

Интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра представляют собой функционально-дифференциальные уравнения с непрерывными значениями аргументов.[1] Интегро-дифференциальные уравнения включают как интегралы, так и производные некоторой функции по аргументу.

Непрерывное интегро-дифференциальное уравнение для запаздывающих функционально-дифференциальных уравнений, , можно записать как

заявка

Функционально-дифференциальные уравнения использовались в моделях, которые определяют будущее поведение определенного явления, определяемого настоящим и прошлым. Будущее поведение явлений, описываемое решениями ОДУ, предполагает, что поведение не зависит от прошлого.[2] Однако может быть много ситуаций, которые зависят от поведения в прошлом.

FDE применимы для моделей во многих областях, таких как медицина, механика, биология и экономика. FDE использовались в исследованиях теплопередачи, обработки сигналов, эволюции видов, транспортных потоков и изучения эпидемий.[1][4]

Рост населения с запаздыванием

А логистическое уравнение за рост населения дан кем-то
где ρ скорость воспроизводства и k это грузоподъемность. представляет размер популяции во время т, и - зависящая от плотности скорость воспроизведения.[7]
Если бы мы сейчас применили это к более раннему времени , мы получаем

Модель смешивания

После применения обыкновенных дифференциальных уравнений многие сталкиваются с моделью смешения какого-либо химического раствора.
Предположим, есть емкость с литрами соленой воды. Соленая вода поступает в контейнер и выходит из него с одинаковой скоростью. литров в секунду. Другими словами, скорость втекающей воды равна скорости вытекания раствора соленой воды. Позволять количество в литрах соленой воды в емкости и быть однородной концентрацией в граммах на литр соленой воды за раз . Тогда имеем дифференциальное уравнение[8]
Проблема с этим уравнением заключается в том, что оно предполагает, что каждая капля воды, попадающая в контейнер, мгновенно смешивается с раствором. Этого можно избежать, используя FDE вместо ODE.
Позволять быть средней концентрацией за время , а не униформа. Затем предположим, что раствор покидает контейнер во время равно , средняя концентрация в более раннее время. Тогда уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с запаздыванием вида[8]

Модель хищник-жертва Вольтерры

Модель «хищник-жертва» Лотки – Вольтерры была первоначально разработана для наблюдения за популяциями акул и рыб в Адриатическом море; однако эта модель использовалась во многих других областях для различных целей, например, для описания химических реакций. Моделирование популяции «хищник-жертва» всегда широко изучалось, и в результате существовало много различных форм исходного уравнения.
Один из примеров, как показано Xu, Wu (2013),[9] модели Лотки – Вольтерры с запаздыванием приведено ниже:
где обозначает плотность популяции жертвы в момент времени t, и обозначают плотность популяции хищников во время и
Обратите внимание, что в этой модели используется линейный уравнения в частных производных.

Другие модели, использующие FDE

Примеры других моделей, в которых использовались FDE, а именно RFDE, приведены ниже:

  • Управляемое движение твердого тела[1]
  • Периодические движения[8]
  • Схема триггера как NDE[8]
  • Модель эпидемии ВИЧ
  • Математические модели количества сахара в крови[1]
  • Уравнения эволюции отдельных видов[1]
  • Распространение инфекции между двумя видами[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм Колмановский, В .; Мышкис, А. (1992). Прикладная теория функционально-дифференциальных уравнений. Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1.
  2. ^ а б Хейл, Джек К. (1971). Функционально-дифференциальные уравнения. США: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90023-3.
  3. ^ Хейл, Джек К .; Verduyn Lunel, Sjoerd M. (1993). Введение в функционально-дифференциальные уравнения. США: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94076-6.
  4. ^ а б Фалбо, Клемент Э. «Некоторые элементарные методы решения функционально-дифференциальных уравнений» (PDF). Государственный университет Сомоны.
  5. ^ Guo, S .; Ву, Дж. (2013). Бифуркационная теория функционально-дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Спрингер. С. 41–60. ISBN 978-1-4614-6991-9.
  6. ^ Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. стр.42–49. ISBN 978-0124109735.
  7. ^ Barnes, B .; Фулфорд, Г. Р. (2015). Математическое моделирование с тематическими исследованиями. ООО «Тейлор и Фрэнсис Групп». С. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5.
  8. ^ а б c d е Шмитт, Клаус, изд. (1972). Уравнения с запаздыванием и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. США: Academic Press.
  9. ^ Сюй, Чанцзинь; Ву, Юсен (2013). «Динамика в модели Лотки – Вольтерры Хищник – Жертва с изменяющимися во времени задержками». Аннотация и прикладной анализ. 2013: 1–9. Дои:10.1155/2013/956703.

дальнейшее чтение

  • Herdman, Terry L .; Ранкин III, Самуэль М .; Стеч, Харлан В. (1981). Интегральные и функционально-дифференциальные уравнения: Конспект. 67. США: Marcel Dekker Inc, Чистая и прикладная математика
  • Форд, Невилл Дж .; Люмб, Патрисия М. (2009). «Функционально-дифференциальные уравнения смешанного типа: численный подход». Журнал вычислительной и прикладной математики. 229 (2): 471–479
  • Лимон, Грег; Кинф, Джон Р. (2012). : Модель функционально-дифференциального уравнения для сортировки биологических клеток за счет дифференциальной адгезии ». Математические модели и методы в прикладных науках. 12(1): 93–126
  • Да Силва, Кармен, Эскаланте, Рене (2011). "Сегментированное Тау-приближение для прямого и обратного функционально-дифференциального уравнения". Компьютеры и математика с приложениями. 62 (12): 4582–4591
  • Pravica, D. W .; Randriampiry, N ,; Спурр, М. Дж. (2009). «Приложения расширенного дифференциального уравнения в изучении всплесков». Прикладной и вычислительный гармонический анализ. 27 (1): 2(10)
  • Бреда, Дмитрий; Мазет, Стефано; Вермиглио Россана (2015). Устойчивость линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием: численный подход с MATLAB. Springer. ISBN 978-1-4939-2106-5