WikiDer > Гауссовский период

Gaussian period

В математика, в районе теория чисел, а Гауссовский период это некая сумма корни единства. Периоды допускают явные вычисления в циклотомические поля связаны с Теория Галуа и с гармонический анализ (дискретное преобразование Фурье). Они лежат в основе классической теории, называемой циклотомия. Тесно связан Сумма Гаусса, тип экспоненциальная сумма который является линейная комбинация периодов.

История

Как следует из названия, точки были введены Гаусс и были основой его теории компас и линейка строительство. Например, конструкция гептадекагон (формула, которая способствовала его репутации) зависела от алгебры таких периодов, из которых

это пример семнадцатого корня единства

Общее определение

Учитывая целое число п > 1, пусть ЧАС быть любым подгруппа мультипликативной группы

из обратимые остатки по модулю п, и разреши

Гауссов период п это сумма примитивные корни n-й степени единства , куда проходит через все элементы в фиксированной смежный из ЧАС в грамм.

Определение п можно также выразить в терминах полевой след. У нас есть

для некоторого подполя L из Q(ζ) и некоторые j взаимно простой с п. Это соответствует предыдущему определению путем определения грамм и ЧАС с Группы Галуа из Q(ζ) /Q и Q(ζ) /L, соответственно. Выбор j определяет выбор смежного класса ЧАС в грамм в предыдущем определении.

Пример

Ситуация наиболее проста, когда п это простое число п > 2. В таком случае грамм цикличен по порядку п - 1, и имеет одну подгруппу ЧАС порядка d для каждого фактора d из п - 1. Например, можно взять ЧАС из индекс два. В таком случае ЧАС состоит из квадратичные вычеты по модулю п. В соответствии с этим ЧАС у нас есть гауссов период

суммировано (п - 1) / 2 квадратичных вычета, а другой период П* суммированы по (п - 1) / 2 квадратичных невычетов. Легко заметить, что

так как левая сторона добавляет все примитивные п-корни степени 1. Из определения следа мы также знаем, что п лежит в квадратичном расширении Q. Следовательно, как знал Гаусс, п удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Вычисление квадрата суммы п связана с проблемой подсчета количества квадратичных вычетов между 1 и п - 1 следуют квадратичные вычеты. Решение элементарное (как мы бы сейчас сказали, оно вычисляет локальная дзета-функция, для кривой, которая является конический). Надо

(пп*)2 = п или -п, за п = 4м + 1 или 4м + 3 соответственно.

Таким образом, это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле находится в Q(ζ). (Это может быть также получено разветвление аргументы в алгебраическая теория чисел; видеть квадратичное поле.)

Как в конечном итоге показал Гаусс, для оценки пп*, правильный квадратный корень должен быть положительным (соответственно. я умножить на положительный реальный) один в двух случаях. Таким образом, явное значение периода п дан кем-то

Суммы Гаусса

Как более подробно обсуждается ниже, гауссовские периоды тесно связаны с другим классом сумм корней из единицы, который теперь обычно называют Суммы Гаусса (иногда Гауссовы суммы). Количество пп* представленный выше квадратный мод сумм Гаусса п, простейший нетривиальный пример суммы Гаусса. Наблюдается, что пп* также может быть записано как

куда здесь означает Символ Лежандра (а/п), а сумма берется по классам вычетов по модулю п. В более общем плане, учитывая Dirichlet персонаж χ мод п, мод суммы Гаусса п связанный с χ, является

Для особого случая в главный персонаж Дирихле, сумма Гаусса сводится к Рамануджанская сумма:

где μ - Функция Мёбиуса.

Суммы Гаусса распространены в теории чисел; например, они происходят значительно в функциональные уравнения из L-функции. (Суммы Гаусса в некотором смысле конечное поле аналоги гамма-функция.[требуется разъяснение][нужна цитата])

Связь гауссовских периодов и гауссовых сумм

Гауссовские периоды связаны с гауссовыми суммами для которых характер χ тривиален на ЧАС. Такие χ принимают одинаковое значение на всех элементах а в фиксированном классе ЧАС в грамм. Например, квадратный символьный мод п описанное выше принимает значение 1 для каждого квадратичного вычета и значение -1 для каждого квадратичного невычета. Сумма Гаусса таким образом, можно записать как линейную комбинацию гауссовских периодов (с коэффициентами χ (а)); верно и обратное, как следствие отношения ортогональности для группы (Z/пZ)×. Другими словами, периоды Гаусса и суммы Гаусса являются друг для друга Преобразования Фурье. Гауссовские периоды обычно лежат в меньших полях, поскольку, например, когда п это прайм п, значения χ (а) находятся (п - 1) корни из единицы. С другой стороны, суммы Гаусса обладают более хорошими алгебраическими свойствами.

Рекомендации

  • Х. Давенпорт, Х.Л. Монтгомери (2000). Теория мультипликативных чисел. Springer. п. 18. ISBN 0-387-95097-4.