WikiDer > Квадратура Гаусса

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Сравнение двухточечной гауссовой и трапецеидальной квадратур. Синяя линия - многочлен ${ textstyle y (x) = 7x ^ {3} -8x ^ {2} -3x + 3}$, интеграл которого в [−1, 1] является ​²⁄₃. В трапеция возвращает интеграл оранжевой пунктирной линии, равный ${ textstyle y (-1) + y (1) = - 10}$. Двухточечное квадратурное правило Гаусса возвращает интеграл от черной пунктирной кривой, равный ${ textstyle y left (- { sqrt { frac {1} {3}}} right) + y left ({ sqrt { frac {1} {3}}} right) = { гидроразрыв {2} {3}}}$. Такой результат точен, так как зеленая область имеет ту же площадь, что и сумма красных областей.

В числовой анализ, а квадратурное правило является приближением определенный интеграл из функция, обычно указывается как взвешенная сумма значений функции в заданных точках в области интегрирования. (Видеть численное интегрирование для получения дополнительной информации квадратура правила.) п-точка Правило квадратуры Гаусса, названный в честь Карл Фридрих Гаусс,^[1] квадратурное правило, построенное для получения точного результата для многочлены степени 2п − 1 или менее подходящим выбором узлов Икс_я и веса ш_я за я = 1, ..., п. Современная формулировка с использованием ортогональных многочленов была разработана Карл Густав Якоби 1826.^[2] Наиболее распространенной областью интеграции для такого правила считается [−1, 1], поэтому правило сформулировано как

${ Displaystyle int _ {- 1} ^ {1} е (х) , dx приблизительно сумма _ {я = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i}),}$

что точно для многочленов степени 2п − 1 или менее. Это точное правило известно как квадратурное правило Гаусса-Лежандра. Правило квадратуры будет точным приближением к интегралу выше, только если ж(Икс) хорошо аппроксимируется полиномом степени 2п − 1 или меньше на [−1, 1].

Гаусс-Legendre квадратурное правило обычно не используется для интегрируемых функций с конечной точкой особенности. Вместо этого, если подынтегральное выражение можно записать как

${ Displaystyle е (х) = влево (1-х вправо) ^ { альфа} влево (1 + х вправо) ^ { бета} г (х), квад альфа, бета> - 1,}$

куда грамм(Икс) хорошо аппроксимируется полиномом низкой степени, то альтернативные узлы ${ displaystyle x_ {i} '}$ и веса ${ displaystyle w_ {i} '}$ обычно дает более точные квадратурные правила. Они известны как Квадратура Гаусса-Якоби правила, т.е.

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} f (x) , dx = int _ {- 1} ^ {1} left (1-x right) ^ { alpha} left ( 1 + x right) ^ { beta} g (x) , dx приблизительно sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} 'g left (x_ {i}' right). }$

Общие веса включают ${ textstyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ (Чебышев – Гаусс) и ${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}}}$. Можно также захотеть интегрировать по полубесконечному (Квадратура Гаусса-Лагерра) и бесконечные интервалы (Квадратура Гаусса – Эрмита).

Можно показать (см. Press, et al. Или Stoer and Bulirsch), что квадратурные узлы Икс_я являются корни полинома, принадлежащего классу ортогональные многочлены (класс, ортогональный относительно взвешенного скалярного продукта). Это ключевое наблюдение для вычисления квадратурных узлов и весов Гаусса.

Квадратура Гаусса – Лежандра

Графики полиномов Лежандра (до п = 5)

Для простейшей задачи интеграции, указанной выше, т. Е. ж(Икс) хорошо аппроксимируется многочленами на ${ displaystyle [-1,1]}$, соответствующие ортогональные многочлены равны Полиномы Лежандра, обозначаемый п_п(Икс). С п-й полином, нормализованный, чтобы дать п_п(1) = 1, то я-й узел Гаусса, Икс_я, это я-й корень из п_п а веса задаются формулой (Абрамовиц и Стегун 1972 г., п. 887) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAbramowitzStegun1972 (помощь)

${ displaystyle w_ {i} = { frac {2} { left (1-x_ {i} ^ {2} right) left [P '_ {n} (x_ {i}) right] ^ {2}}}.}$

Некоторые квадратурные правила низкого порядка приведены в таблице ниже (по интервалу [−1, 1]другие интервалы см. в разделе ниже).

Количество баллов, п	Точки, Икся		Вес, шя
1	0		2
2	${ displaystyle pm { frac {1} { sqrt {3}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${ displaystyle { frac {8} {9}}}$	0.888889...
	${ displaystyle pm { sqrt { frac {3} {5}}}}$	±0.774597...	${ displaystyle { frac {5} {9}}}$	0.555556...
4	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {3} {7}} - { frac {2} {7}} { sqrt { frac {6} {5}}}}}}$	±0.339981...	${ displaystyle { frac {18 + { sqrt {30}}} {36}}}$	0.652145...
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {3} {7}} + { frac {2} {7}} { sqrt { frac {6} {5}}}}}}$	±0.861136...	${ displaystyle { frac {18 - { sqrt {30}}} {36}}}$	0.347855...
5	0		${ displaystyle { frac {128} {225}}}$	0.568889...
	${ displaystyle pm { frac {1} {3}} { sqrt {5-2 { sqrt { frac {10} {7}}}}}}}$	±0.538469...	${ displaystyle { frac {322 + 13 { sqrt {70}}} {900}}}$	0.478629...
	${ displaystyle pm { frac {1} {3}} { sqrt {5 + 2 { sqrt { frac {10} {7}}}}}}$	±0.90618...	${ displaystyle { frac {322-13 { sqrt {70}}} {900}}}$	0.236927...

Изменение интервала

Интеграл по [а, б] необходимо заменить на интеграл по [−1, 1] перед применением квадратурного правила Гаусса. Это изменение интервала можно сделать следующим образом:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = { frac {ba} {2}} int _ {- 1} ^ {1} f left ({ frac { ba} {2}} xi + { frac {a + b} {2}} right) , d xi.}$

Применение ${ displaystyle n}$ точечная квадратура Гаусса ${ Displaystyle ( xi, ш)}$ правило приводит к следующему приближению:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx приблизительно { frac {ba} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f left ({ frac {ba} {2}} xi _ {i} + { frac {a + b} {2}} right).}$

Другие формы

Проблема интеграции может быть выражена в несколько более общем виде, если ввести положительный весовая функция ω в подынтегральное выражение и допуская интервал, отличный от [−1, 1]. То есть проблема в том, чтобы вычислить

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , f (x) , dx}$

для некоторых вариантов а, б, и ω. За а = −1, б = 1, и ω (Икс) = 1, проблема такая же, как рассмотренная выше. Другие варианты приводят к другим правилам интеграции. Некоторые из них представлены в таблице ниже. Номера уравнений приведены для Абрамовиц и Стегун (В КАЧЕСТВЕ).

Интервал	ω(Икс)	Ортогональные многочлены	В КАЧЕСТВЕ	Для получения дополнительной информации см. ...
[−1, 1]	1	Полиномы Лежандра	25.4.29	§ Квадратура Гаусса – Лежандра
(−1, 1)	${ displaystyle left (1-x right) ^ { alpha} left (1 + x right) ^ { beta}, quad alpha, beta> -1}$	Многочлены Якоби	25.4.33 (β = 0)	Квадратура Гаусса – Якоби
(−1, 1)	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$	Полиномы Чебышева (первый вид)	25.4.38	Квадратура Чебышева – Гаусса
[−1, 1]	${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}}}$	Многочлены Чебышева (второй род)	25.4.40	Квадратура Чебышева – Гаусса
[0, ∞)	${ Displaystyle е ^ {- х} ,}$	Полиномы Лагерра	25.4.45	Квадратура Гаусса – Лагерра
[0, ∞)	${ displaystyle x ^ { alpha} e ^ {- x}, quad alpha> -1}$	Обобщенный Полиномы Лагерра		Квадратура Гаусса – Лагерра
(−∞, ∞)	${ Displaystyle е ^ {- х ^ {2}}}$	Полиномы Эрмита	25.4.46	Квадратура Гаусса – Эрмита

Основная теорема

Позволять п_п - нетривиальный многочлен степени п такой, что

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , x ^ {k} p_ {n} (x) , dx = 0, quad { text {для всех}} k = 0,1, ldots, n-1.}$

Если мы выберем п узлы Икс_я быть нулями п_п, то существуют п веса ш_я которые делают вычисленный интеграл квадратур Гаусса точным для всех полиномов час(Икс) степени 2п − 1 или менее. Кроме того, все эти узлы Икс_я будет лежать в открытом интервале (а, б) (Stoer & Bulirsch, 2002 г.С. 172–175).

Полином п_п называется ортогональным многочленом степени п связанный с весовой функцией ω(Икс). Он уникален с точностью до постоянного нормирующего коэффициента. Идея, лежащая в основе доказательства, состоит в том, что из-за его достаточно низкой степени час(Икс) можно разделить на ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ произвести частное q(Икс) степени строго ниже, чем п, а остаток р(Икс) еще более низкой степени, так что оба будут ортогональны ${ Displaystyle р_ {п} (х)}$, определяющим свойством ${ Displaystyle р_ {п} (х)}$. Таким образом

${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , h (x) , dx = int _ {a} ^ {b} omega (x) , r (x) , dx.}$

Из-за выбора узлов Икс_я, соответствующее соотношение

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} w_ {i} h (x_ {i}) = sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} r (x_ {i}) }$

имеет также. Точность вычисленного интеграла для ${ Displaystyle ч (х)}$ то из соответствующей точности следует для многочленов только степени п или меньше (как есть ${ Displaystyle г (х)}$).

Общая формула весов

Вес можно выразить как

${ displaystyle w_ {i} = { frac {a_ {n}} {a_ {n-1}}} { frac { int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1) } left (x right) ^ {2} dx} {p '_ ​​{n} (x_ {i}) p_ {n-1} (x_ {i})}}}$

(1)

куда ${ displaystyle a_ {k}}$ коэффициент при ${ displaystyle x ^ {k}}$ в ${ displaystyle p_ {k} (x)}$. Чтобы доказать это, обратите внимание, что использование Интерполяция Лагранжа можно выразить р(Икс) с точки зрения ${ Displaystyle г (х_ {я})}$ в качестве

${ displaystyle r (x) = sum _ {i = 1} ^ {n} r (x_ {i}) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i конец {smallmatrix}} { frac {x-x_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}}}$

потому что р(Икс) имеет степень меньше чем п и, таким образом, фиксируется значениями, которых он достигает при п разные точки. Умножая обе стороны на ω(Икс) и интеграция из а к б дает

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) r (x) dx = sum _ {i = 1} ^ {n} r (x_ {i}) int _ {a} ^ {b} omega (x) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} { frac {x-x_ {j}} {x_ { i} -x_ {j}}} dx}$

Веса ш_я таким образом даются

${ displaystyle w_ {i} = int _ {a} ^ {b} omega (x) prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix} } { frac {x-x_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}} dx}$

Это интегральное выражение для ${ displaystyle w_ {i}}$ можно выразить через ортогональные многочлены ${ Displaystyle р_ {п} (х)}$ и ${ Displaystyle р_ {п-1} (х)}$ следующее.

Мы можем написать

${ Displaystyle prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} left (x-x_ {j} right) = { frac { prod _ {1 leq j leq n} left (x-x_ {j} right)} {x-x_ {i}}} = { frac {p_ {n} (x)} {a_ {n} left (x-x_ {i} right)}}}$

куда ${ displaystyle a_ {n}}$ коэффициент при ${ Displaystyle х ^ {п}}$ в ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$. Принимая предел Икс к ${ displaystyle x_ {i}}$ дает по правилу L'Hôpital

${ displaystyle prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} left (x_ {i} -x_ {j} right) = { frac {p '_ ​​{n} (x_ {i})} {a_ {n}}}}$

Таким образом, мы можем записать интегральное выражение для весов в виде

${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} {p '_ ​​{n} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ { n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

(2)

В подынтегральном выражении запись

${ displaystyle { frac {1} {x-x_ {i}}} = { frac {1- left ({ frac {x} {x_ {i}}} right) ^ {k}} { x-x_ {i}}} + left ({ frac {x} {x_ {i}}} right) ^ {k} { frac {1} {x-x_ {i}}}}$

дает

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {x ^ {k} p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = x_ {i} ^ {k} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

при условии ${ Displaystyle к Leq п}$, потому что

${ displaystyle { frac {1- left ({ frac {x} {x_ {i}}} right) ^ {k}} {x-x_ {i}}}}$

является многочленом степени к - 1 который тогда ортогонален ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$. Так что если q(Икс) является многочленом не выше n-й степени, имеем

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {1} {q ( x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {q (x) p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx}$

Мы можем вычислить интеграл в правой части для ${ Displaystyle д (х) = р_ {п-1} (х)}$ следующее. Потому что ${ displaystyle { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}}}$ является многочленом степени п - 1, у нас есть

${ displaystyle { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} = a_ {n} x ^ {n-1} + s (x)}$

куда s(Икс) является многочленом степени ${ displaystyle n-2}$. С s(Икс) ортогонален ${ Displaystyle р_ {п-1} (х)}$ у нас есть

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {a_ {n}} {p_ {n-1} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1} (x) x ^ {n-1} dx}$

Затем мы можем написать

${ displaystyle x ^ {n-1} = left (x ^ {n-1} - { frac {p_ {n-1} (x)} {a_ {n-1}}} right) + { frac {p_ {n-1} (x)} {a_ {n-1}}}}$

Член в скобках - многочлен степени ${ displaystyle n-2}$, которая поэтому ортогональна ${ Displaystyle р_ {п-1} (х)}$. Таким образом, интеграл можно записать как

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) { frac {p_ {n} (x)} {x-x_ {i}}} dx = { frac {a_ {n}} {a_ {n-1} p_ {n-1} (x_ {i})}} int _ {a} ^ {b} omega (x) p_ {n-1} (x) ^ {2} dx }$

Согласно уравнению (2) веса получаются делением на ${ displaystyle p '_ {n} (x_ {i})}$ и это дает выражение в уравнении (1).

${ displaystyle w_ {i}}$ также можно выразить через ортогональные многочлены ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ и сейчас ${ Displaystyle р_ {п + 1} (х)}$. В трехчленном рекуррентном соотношении ${ displaystyle p_ {n + 1} (x_ {i}) = (a) p_ {n} (x_ {i}) + (b) p_ {n-1} (x_ {i})}$ срок с ${ displaystyle p_ {n} (x_ {i})}$ исчезает, поэтому ${ displaystyle p_ {n-1} (x_ {i})}$ в уравнении. (1) можно заменить на ${ textstyle { frac {1} {b}} p_ {n + 1} left (x_ {i} right)}$.

Доказательство положительности весов

Рассмотрим следующий многочлен степени ${ displaystyle 2n-2}$

${ displaystyle f (x) = prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq i end {smallmatrix}} { frac { left (x-x_ {j} справа) ^ {2}} { left (x_ {i} -x_ {j} right) ^ {2}}}}$

где, как и выше, Икс_j являются корнями многочлена ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$. Четко ${ displaystyle f (x_ {j}) = delta _ {ij}}$. Поскольку степень ${ displaystyle f (x)}$ меньше чем ${ displaystyle 2n-1}$, квадратурная формула Гаусса, включающая веса и узлы, полученные из ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ применяется. С ${ displaystyle f (x_ {j}) = 0}$ для j, не равного i, имеем

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) dx = sum _ {j = 1} ^ {N} w_ {j} f (x_ {j}) = sum _ {j = 1} ^ {N} delta _ {ij} w_ {j} = w_ {i}> 0.}$

Поскольку оба ${ Displaystyle omega (х)}$ и ${ displaystyle f (x)}$ неотрицательные функции, отсюда следует, что ${ displaystyle w_ {i}> 0}$.

Вычисление квадратурных правил Гаусса

Есть много алгоритмов вычисления узлов Икс_я и веса ш_я квадратурных правил Гаусса. Наиболее популярны алгоритмы Голуба-Велша, требующие О(п²) операций, метод Ньютона для решения ${ displaystyle p_ {n} (x) = 0}$ с использованием трехкратное повторение для оценки, требующей О(п²) операций и асимптотики для больших п требующий О(п) операции.

Отношение рецидива

Ортогональные многочлены ${ displaystyle p_ {r}}$ с ${ displaystyle (p_ {r}, p_ {s}) = 0}$ за ${ displaystyle r neq s}$ для скалярного произведения ${ Displaystyle (, ,)}$, степень ${ displaystyle (p_ {r}) = r}$ и старший коэффициент один (т. е. моник ортогональные многочлены) удовлетворяют рекуррентному соотношению

${ Displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r, r}) p_ {r} (x) -a_ {r, r-1} p_ {r-1} (x) cdots -a_ {r, 0} p_ {0} (x)}$

и скалярное произведение определены

${ Displaystyle (е (х), г (х)) = int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) g (x) dx}$

за ${ Displaystyle г = 0,1, ldots, п-1}$ куда п - максимальная степень, которую можно принять равной бесконечности, и где ${ textstyle a_ {r, s} = { frac { left (xp_ {r}, p_ {s} right)} { left (p_ {s}, p_ {s} right)}}}$. Прежде всего, полиномы, определяемые рекуррентным соотношением, начинающимся с ${ Displaystyle p_ {0} (х) = 1}$ имеют старший коэффициент один и правильную степень. Учитывая отправную точку ${ displaystyle p_ {0}}$, ортогональность ${ displaystyle p_ {r}}$ можно показать по индукции. За ${ displaystyle r = s = 0}$ надо

${ displaystyle (p_ {1}, p_ {0}) = (x-a_ {0,0}) (p_ {0}, p_ {0}) = (xp_ {0}, p_ {0}) - a_ {0,0} (p_ {0}, p_ {0}) = (xp_ {0}, p_ {0}) - (xp_ {0}, p_ {0}) = 0.}$

Сейчас если ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {r}}$ ортогональны, то и ${ displaystyle p_ {r + 1}}$, потому что в

${ displaystyle (p_ {r + 1}, p_ {s}) = (xp_ {r}, p_ {s}) - a_ {r, r} (p_ {r}, p_ {s}) - a_ {r , r-1} (p_ {r-1}, p_ {s}) cdots -a_ {r, 0} (p_ {0}, p_ {s})}$

все скалярные произведения исчезают, кроме первого и того, где ${ displaystyle p_ {s}}$ встречает тот же ортогональный многочлен. Следовательно,

${ displaystyle (p_ {r + 1}, p_ {s}) = (xp_ {r}, p_ {s}) - a_ {r, s} (p_ {s}, p_ {s}) = (xp_ { r}, p_ {s}) - (xp_ {r}, p_ {s}) = 0.}$

Однако если скалярное произведение удовлетворяет ${ Displaystyle (xf, g) = (f, xg)}$ (что имеет место для гауссовой квадратуры) рекуррентное соотношение сводится к трехчленному рекуррентному соотношению: для ${ displaystyle s$ является многочленом степени меньше или равной р − 1. С другой стороны, ${ displaystyle p_ {r}}$ ортогонален любому многочлену степени меньше или равной р − 1. Следовательно, есть ${ Displaystyle (xp_ {r}, p_ {s}) = (p_ {r}, xp_ {s}) = 0}$ и ${ displaystyle a_ {r, s} = 0}$ за s < р − 1. Тогда рекуррентное отношение упрощается до

${ Displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r, r}) p_ {r} (x) -a_ {r, r-1} p_ {r-1} (x)}$

или же

${ displaystyle p_ {r + 1} (x) = (x-a_ {r}) p_ {r} (x) -b_ {r} p_ {r-1} (x)}$

(с условием ${ Displaystyle р _ {- 1} (х) эквив 0}$) куда

${ displaystyle a_ {r}: = { frac {(xp_ {r}, p_ {r})} {(p_ {r}, p_ {r})}}, qquad b_ {r}: = { гидроразрыв {(xp_ {r}, p_ {r-1})} {(p_ {r-1}, p_ {r-1})}} = { frac {(p_ {r}, p_ {r}) } {(p_ {r-1}, p_ {r-1})}}}$

(последний из-за ${ Displaystyle (xp_ {r}, p_ {r-1}) = (p_ {r}, xp_ {r-1}) = (p_ {r}, p_ {r})}$, поскольку ${ displaystyle xp_ {r-1}}$ отличается от ${ displaystyle p_ {r}}$ на степень меньше, чем р).

Алгоритм Голуба-Велша

Трехчленное рекуррентное соотношение можно записать в матричной форме ${ Displaystyle J { тильда {P}} = х { тильда {P}} - p_ {n} (x) times mathbf {e} _ {n}}$ куда ${ Displaystyle { тильда {P}} = { begin {bmatrix} p_ {0} (x) & p_ {1} (x) & ldots & p_ {n-1} (x) end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$, ${ displaystyle mathbf {e} _ {n}}$ это ${ displaystyle n}$стандартный базисный вектор, т. е. ${ displaystyle mathbf {e} _ {n} = { begin {bmatrix} 0 & ldots & 0 & 1 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$, и J это так называемая матрица Якоби:

${ displaystyle mathbf {J} = { begin {pmatrix} a_ {0} & 1 & 0 & ldots & ldots & ldots b_ {1} & a_ {1} & 1 & 0 & ldots & ldots 0 & b_ {2} & a_ {2} & 1 & 0 & ldots 0 & ldots & ldots & ldots & ldots & 0 ldots & ldots & 0 & b_ {n-2} & a_ {n-2} & 1 ldots & ldots & ldots & 0 & b_ {n-1} & a_ {n-1} end {pmatrix}}}$

Нули ${ displaystyle x_ {j}}$ многочленов до степени п, которые используются в качестве узлов для квадратуры Гаусса, могут быть найдены путем вычисления собственных значений этого трехдиагональная матрица. Эта процедура известна как Алгоритм Голуба – Велша.

Для вычисления весов и узлов предпочтительно рассматривать симметричную трехдиагональную матрицу ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ с элементами

${ Displaystyle { begin {align} { mathcal {J}} _ {i, i} = J_ {i, i} & = a_ {i-1} && i = 1, ldots, n { mathcal {J}} _ {i-1, i} = { mathcal {J}} _ {i, i-1} = { sqrt {J_ {i, i-1} J_ {i-1, i}} } & = { sqrt {b_ {i-1}}} && i = 2, ldots, n. end {выровнено}}}$

J и ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ находятся аналогичные матрицы и поэтому имеют одинаковые собственные значения (узлы). Веса могут быть вычислены из соответствующих собственных векторов: Если ${ displaystyle phi ^ {(j)}}$ нормализованный собственный вектор (т.е. собственный вектор с евклидовой нормой, равной единице), связанный с собственным значением Икс_j, соответствующий вес может быть вычислен из первого компонента этого собственного вектора, а именно:

${ displaystyle w_ {j} = mu _ {0} left ( phi _ {1} ^ {(j)} right) ^ {2}}$

куда ${ displaystyle mu _ {0}}$ является интегралом от весовой функции

${ displaystyle mu _ {0} = int _ {a} ^ {b} omega (x) dx.}$

См., Например, (Гил, Сегура и Темме 2007) для получения дополнительных сведений.

Оценки ошибок

Погрешность квадратурного правила Гаусса можно сформулировать следующим образом (Stoer & Bulirsch, 2002 г., Thm 3.6.24). Для подынтегрального выражения, имеющего 2п непрерывные производные,

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} omega (x) , f (x) , dx- sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} , f (x_ { i}) = { frac {f ^ {(2n)} ( xi)} {(2n)!}} , (p_ {n}, p_ {n})}$

для некоторых ξ в (а, б), куда п_п - моника (т.е. старший коэффициент равен 1) ортогональный многочлен степени п и где

${ displaystyle (f, g) = int _ {a} ^ {b} omega (x) f (x) g (x) , dx.}$

В важном частном случае ω(Икс) = 1, имеем оценку погрешности (Каханер, Молер и Нэш 1989, §5.2)

${ displaystyle { frac { left (ba right) ^ {2n + 1} left (n! right) ^ {4}} {(2n + 1) left [ left (2n right)! right] ^ {3}}} f ^ {(2n)} ( xi), qquad a < xi$

Стоер и Булирш отмечают, что такая оценка ошибки неудобна на практике, поскольку может быть трудно оценить порядок 2п производной, и, кроме того, фактическая ошибка может быть намного меньше, чем предел, установленный производной. Другой подход заключается в использовании двух квадратурных правил Гаусса разного порядка и оценке ошибки как разницы между двумя результатами. Для этой цели могут быть полезны квадратурные правила Гаусса – Кронрода.

Правила Гаусса – Кронрода

Если интервал [а, б] подразделяется, точки оценки Гаусса новых подынтервалов никогда не совпадают с предыдущими точками оценки (кроме нуля для нечетных чисел), и, таким образом, подынтегральное выражение должно оцениваться в каждой точке. Правила Гаусса – Кронрода являются расширениями квадратурных правил Гаусса, порожденными добавлением п + 1 указывает на п-направить правило таким образом, чтобы результирующее правило было в порядке 2п + 1. Это позволяет вычислять оценки более высокого порядка при повторном использовании значений функций оценки более низкого порядка. Разница между квадратурным правилом Гаусса и его расширением Кронрода часто используется как оценка ошибки приближения.

Правила Гаусса – Лобатто

Также известный как Квадратура лобатто (Абрамовиц и Стегун 1972 г., п. 888) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAbramowitzStegun1972 (помощь), названный в честь голландского математика Рехуэль Лобатто. Он похож на квадратуру Гаусса со следующими отличиями:

1. Точки интегрирования включают конечные точки интервала интегрирования.
2. Он точен для многочленов до степени 2п – 3, куда п - количество точек интегрирования (Quarteroni, Sacco & Saleri 2000).

Квадратура функции лобатто ж(Икс) на интервале [−1, 1]:

${ Displaystyle int _ {- 1} ^ {1} {е (х) , dx} = { гидроразрыва {2} {п (п-1)}} [е (1) + е (-1) ] + sum _ {i = 2} ^ {n-1} {w_ {i} f (x_ {i})} + R_ {n}.}$

Абсциссы: Икс_я это ${ Displaystyle (я-1)}$st ноль ${ Displaystyle P '_ {п-1} (х)}$, здесь ${ Displaystyle P_ {m} (х)}$обозначает стандартный многочлен Лежандра m-й степени, тире обозначает производную.

Вес:

${ displaystyle w_ {i} = { frac {2} {n (n-1) left [P_ {n-1} left (x_ {i} right) right] ^ {2}}}, qquad x_ {i} neq pm 1.}$

Остаток:

${ displaystyle R_ {n} = { frac {-n left (n-1 right) ^ {3} 2 ^ {2n-1} left [ left (n-2 right)! right] ^ {4}} {(2n-1) left [ left (2n-2 right)! Right] ^ {3}}} f ^ {(2n-2)} ( xi), qquad - 1 < xi <1.}$

Вот некоторые веса:

Количество баллов, п	Точки, Икся	Вес, шя
${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {4} {3}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {3}}}$
${ displaystyle 4}$	${ displaystyle pm { sqrt { frac {1} {5}}}}$	${ displaystyle { frac {5} {6}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {6}}}$
${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {32} {45}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt { frac {3} {7}}}}$	${ displaystyle { frac {49} {90}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {10}}}$
${ displaystyle 6}$	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {1} {3}} - { frac {2 { sqrt {7}}} {21}}}}}$	${ displaystyle { frac {14 + { sqrt {7}}} {30}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {1} {3}} + { frac {2 { sqrt {7}}} {21}}}}}$	${ displaystyle { frac {14 - { sqrt {7}}} {30}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {15}}}$
${ displaystyle 7}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {256} {525}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {5} {11}} - { frac {2} {11}} { sqrt { frac {5} {3}}}}}}$	${ displaystyle { frac {124 + 7 { sqrt {15}}} {350}}}$
	${ displaystyle pm { sqrt {{ frac {5} {11}} + { frac {2} {11}} { sqrt { frac {5} {3}}}}}}$	${ displaystyle { frac {124-7 { sqrt {15}}} {350}}}$
	${ displaystyle pm 1}$	${ displaystyle { frac {1} {21}}}$

Адаптивный вариант этого алгоритма с двумя внутренними узлами^[3] находится в GNU Octave и MATLAB в качестве квадль и интегрировать.^[4][5]

Рекомендации

• Реализация точного обобщенного квадратурного решения Гаусса для поиска упругого поля в однородной анизотропной среде
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 25.4, Интеграция». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253.
• Андерсон, Дональд Г. (1965). "Квадратурные формулы Гаусса для ${ Displaystyle int _ {0} ^ {1} - ln (x) f (x) dx}$". Математика. Comp. 19 (91): 477–481. Дои:10.1090 / s0025-5718-1965-0178569-1.
• Голуб, Джин Х.; Уэлш, Джон Х. (1969), "Вычисление квадратурных правил Гаусса", Математика вычислений, 23 (106): 221–230, Дои:10.1090 / S0025-5718-69-99647-1, JSTOR 2004418
• Гаучи, Уолтер (1968). «Построение квадратурных формул Гаусса – Кристоффеля». Математика. Comp. 22 (102). С. 251–270. Дои:10.1090 / S0025-5718-1968-0228171-0. МИСТЕР 0228171.
• Гаучи, Уолтер (1970). «О построении квадратурных правил Гаусса из модифицированных моментов». Математика. Comp. 24. С. 245–260. Дои:10.1090 / S0025-5718-1970-0285117-6. МИСТЕР 0285177.
• Писсенс, Р. (1971). «Квадратурные формулы Гаусса для численного интегрирования интеграла Бромвича и обращения преобразования Лапласа». J. Eng. Математика. 5 (1). С. 1–9. Bibcode:1971JEnMa ... 5 .... 1P. Дои:10.1007 / BF01535429.
• Данлой, Бернард (1973). «Численное построение квадратурных формул Гаусса для ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} (- log x) x ^ { alpha} f (x) dx}$ и ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} E_ {m} (x) f (x) dx}$". Математика. Comp. 27 (124). С. 861–869. Дои:10.1090 / S0025-5718-1973-0331730-X. МИСТЕР 0331730.
• Каханер, Дэвид; Молер, Клив; Нэш, Стивен (1989), Численные методы и программное обеспечение, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Сагар, Робин П. (1991). «Квадратура Гаусса для вычисления обобщенных интегралов Ферми-Дирака». Comput. Phys. Сообщество. 66 (2–3): 271–275. Bibcode:1991CoPhC..66..271S. Дои:10.1016 / 0010-4655 (91) 90076-В.
• Якимив, Э. (1996). «Точное вычисление весов в классических квадратурных правилах Гаусса-Кристоффеля». J. Comput. Phys. 129 (2): 406–430. Bibcode:1996JCoPh.129..406Y. Дои:10.1006 / jcph.1996.0258.
• Лори, Дирк П. (1999), "Точное восстановление коэффициентов рекурсии из квадратурных формул Гаусса", J. Comput. Appl. Математика., 112 (1–2): 165–180, Дои:10.1016 / S0377-0427 (99) 00228-9
• Лори, Дирк П. (2001). «Вычисление квадратурных формул типа Гаусса». J. Comput. Appl. Математика. 127 (1–2): 201–217. Bibcode:2001JCoAM.127..201L. Дои:10.1016 / S0377-0427 (00) 00506-9.
• Ринер, Кордиан; Швайгхофер, Маркус (2018). «Оптимизационные подходы к квадратуре: новые характеристики квадратур Гаусса на прямой и квадратур с несколькими узлами на плоских алгебраических кривых, на плоскости и в более высоких измерениях». Журнал сложности. 45: 22–54. arXiv:1607.08404. Дои:10.1016 / j.jco.2017.10.002.
• Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
• Темме, Нико М. (2010), "§3.5 (v): Квадратура Гаусса", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 4.6. Квадратуры Гаусса и ортогональные многочлены», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88068-8
• Гил, Ампаро; Сегура, Хавьер; Темме, Нико М. (2007), "§5.3: квадратура Гаусса", Численные методы для специальных функций., СИАМ, ISBN 978-0-89871-634-4
• Quarteroni, Alfio; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000). Вычислительная математика. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.422, 425. ISBN 0-387-98959-5.
• Вальтер Гаучи: "Репозиторий программного обеспечения для гауссовских квадратур и функций Кристоффеля", SIAM, ISBN 978-1-611976-34-2 (2020).

Специфический

внешняя ссылка

• «Квадратурная формула Гаусса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• АЛГЛИБ содержит набор алгоритмов численного интегрирования (в C # / C ++ / Delphi / Visual Basic / и т. д.)
• Научная библиотека GNU - включает C версия КВАДПАК алгоритмы (см. также Научная библиотека GNU)
• От квадратуры Лобатто к постоянной Эйлера e
• Квадратурное правило интеграции Гаусса - Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad в Институт целостных численных методов
• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратура Лежандра-Гаусса". MathWorld.
• Гауссова квадратура Крис Мэйс и Антон Антонов, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Табулированные веса и абсциссы с исходным кодом Mathematica, высокая точность (16 и 256 знаков после запятой) квадратурные веса и абсциссы Лежандра-Гаусса, для п= 2 через п= 64, с исходным кодом Mathematica.
• Исходный код Mathematica распространяется под лицензией GNU LGPL для генерации абсцисс и весов для произвольных весовых функций W (x), областей интегрирования и точности.
• Квадратура Гаусса в Boost.Math для произвольной точности и порядка приближения
• Квадратура Гаусса-Кронрода в Boost.Math